MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelcnv Structured version   Unicode version

Theorem opelcnv 5016
Description: Ordered-pair membership in converse. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
opelcnv.1  |-  A  e. 
_V
opelcnv.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
opelcnv  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' R  <->  <. B ,  A >.  e.  R )

Proof of Theorem opelcnv
StepHypRef Expression
1 opelcnv.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 opelcnv.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 opelcnvg 5014 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' R  <->  <. B ,  A >.  e.  R ) )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' R  <->  <. B ,  A >.  e.  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   <.cop 3878   `'ccnv 4834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-br 4288  df-opab 4346  df-cnv 4843
This theorem is referenced by:  cnvopab  5233  cnv0  5235  cnvdif  5238  dfrel2  5283  cnvcnvsn  5311  cnvresima  5322  dfco2  5332  cnviin  5369  fcnvres  5583  cnvf1olem  6665  cnvimadfsn  6694  dmtpos  6752  dftpos4  6759  tpostpos  6760  brsdom2  7427  fsumcom2  13233  gsumcom2  16455  metustsymOLD  20111  metustsym  20112  fprodcom2  27446  cnvco1  27521  cnvco2  27522
  Copyright terms: Public domain W3C validator