Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opcon2b Structured version   Unicode version

Theorem opcon2b 32726
Description: Orthocomplement contraposition law. (negcon2 9929 analog.) (Contributed by NM, 16-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
opoccl.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
opcon2b  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( 
._|_  `  Y )  <->  Y  =  (  ._|_  `  X )
) )

Proof of Theorem opcon2b
StepHypRef Expression
1 opoccl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 opoccl.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
31, 2opoccl 32723 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
433adant2 1025 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
51, 2opcon3b 32725 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  =  (  ._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  (  ._|_  `  X ) ) )
64, 5syld3an3 1310 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( 
._|_  `  Y )  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  (  ._|_  `  X ) ) )
71, 2opococ 32724 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
873adant2 1025 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
98eqeq1d 2425 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  (  ._|_  `  X
)  <->  Y  =  (  ._|_  `  X ) ) )
106, 9bitrd 257 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  =  ( 
._|_  `  Y )  <->  Y  =  (  ._|_  `  X )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   ` cfv 5599   Basecbs 15114   occoc 15191   OPcops 32701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-nul 4553
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-dm 4861  df-iota 5563  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oposet 32705
This theorem is referenced by:  opcon1b  32727  riotaocN  32738  glbconxN  32906
  Copyright terms: Public domain W3C validator