Theorem opabn0 4705

Description: Nonempty ordered pair class abstraction. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opabn0	|- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> E. x E. y ph )

Proof of Theorem opabn0

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3709	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> E. z z e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4682	. . . 4 |- ( z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
3	2	exbii 1722	. . 3 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
4		exrot3 1935	. . . 4 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
5		opex 4637	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
6	5	isseti 3019	. . . . . 6 |- E. z z = <. x , y >.
7		19.41v 1834	. . . . . 6 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. z z = <. x , y >. /\ ph ) )
8	6, 7	mpbiran 929	. . . . 5 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
9	8	2exbii 1723	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
10	4, 9	bitri 257	. . 3 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
11	3, 10	bitri 257	. 2 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )
12	1, 11	bitri 257	1 |- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> E. x E. y ph )

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1448   E.wex 1667   e. wcel 1891   =/= wne 2622   (/)c0 3699   <.cop 3942   {copab 4432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pr 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-v 3015  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-opab 4434

This theorem is referenced by:  csbopab  4706  dvdsrval  17884  thlle  19271  bcthlem5  22307  lgsquadlem3  24296