Theorem opabn0 4787

Description: Nonempty ordered pair class abstraction. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opabn0	|- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> E. x E. y ph )

Proof of Theorem opabn0

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3803	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> E. z z e. { <. x , y >. | ph } )
2		elopab 4764	. . . 4 |- ( z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
3	2	exbii 1668	. . 3 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
4		exrot3 1853	. . . 4 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
5		opex 4720	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
6	5	isseti 3115	. . . . . 6 |- E. z z = <. x , y >.
7		19.41v 1772	. . . . . 6 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. z z = <. x , y >. /\ ph ) )
8	6, 7	mpbiran 918	. . . . 5 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
9	8	2exbii 1669	. . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
10	4, 9	bitri 249	. . 3 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
11	3, 10	bitri 249	. 2 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )
12	1, 11	bitri 249	1 |- ( { <. x , y >. | ph } =/= (/) <-> E. x E. y ph )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   (/)c0 3793   <.cop 4038   {copab 4514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-opab 4516

This theorem is referenced by:  csbopab  4788  dvdsrval  17512  thlle  18946  bcthlem5  21984  lgsquadlem3  23848