MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opabn0 Structured version   Unicode version

Theorem opabn0 4787
Description: Nonempty ordered pair class abstraction. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
opabn0  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ph )

Proof of Theorem opabn0
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3803 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
2 elopab 4764 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
32exbii 1668 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. z E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 exrot3 1853 . . . 4  |-  ( E. z E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y E. z ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
5 opex 4720 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
65isseti 3115 . . . . . 6  |-  E. z 
z  =  <. x ,  y >.
7 19.41v 1772 . . . . . 6  |-  ( E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( E. z  z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
86, 7mpbiran 918 . . . . 5  |-  ( E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ph )
982exbii 1669 . . . 4  |-  ( E. x E. y E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ph )
104, 9bitri 249 . . 3  |-  ( E. z E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ph )
113, 10bitri 249 . 2  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. x E. y ph )
121, 11bitri 249 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   (/)c0 3793   <.cop 4038   {copab 4514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-opab 4516
This theorem is referenced by:  csbopab  4788  dvdsrval  17512  thlle  18946  bcthlem5  21984  lgsquadlem3  23848
  Copyright terms: Public domain W3C validator