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Theorem opabiota 5936
Description: Define a function whose value is "the unique  y such that  ph ( x ,  y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
opabiota.1  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
opabiota.2  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
opabiota  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)

Proof of Theorem opabiota
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2 opabiota.2 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32iotabidv 5578 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( iota y ph )  =  ( iota y ps ) )
41, 3eqeq12d 2479 . 2  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  =  ( iota y ph )  <->  ( F `  B )  =  ( iota y ps )
) )
5 vex 3112 . . . 4  |-  x  e. 
_V
65eldm 5210 . . 3  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
7 nfiota1 5559 . . . . 5  |-  F/_ y
( iota y ph )
87nfeq2 2636 . . . 4  |-  F/ y ( F `  x
)  =  ( iota y ph )
9 opabiota.1 . . . . . . 7  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
109opabiotafun 5934 . . . . . 6  |-  Fun  F
11 funbrfv 5911 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y )
13 df-br 4457 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
149eleq2i 2535 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  {
y  |  ph }  =  { y } }
)
15 opabid 4763 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
1613, 14, 153bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( x F y  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
17 ssnid 4061 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
{ y }
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  { y  |  ph }  =  { y } )
1917, 18syl5eleqr 2552 . . . . . . . 8  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  y  e.  { y  | 
ph } )
20 abid 2444 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  ph )
2216, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ph )
23 vex 3112 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
245, 23breldm 5217 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  ->  x  e.  dom  F )
259opabiotadm 5935 . . . . . . . . 9  |-  dom  F  =  { x  |  E! y ph }
2625abeq2i 2584 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E! y ph )
2724, 26sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( x F y  ->  E! y ph )
28 iota1 5571 . . . . . . 7  |-  ( E! y ph  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
3022, 29mpbid 210 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( iota y ph )  =  y )
3112, 30eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph ) )
328, 31exlimi 1913 . . 3  |-  ( E. y  x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph )
)
336, 32sylbi 195 . 2  |-  ( x  e.  dom  F  -> 
( F `  x
)  =  ( iota y ph ) )
344, 33vtoclga 3173 1  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E!weu 2283   {cab 2442   {csn 4032   <.cop 4038   class class class wbr 4456   {copab 4514   dom cdm 5008   iotacio 5555   Fun wfun 5588   ` cfv 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602
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