Theorem opabiota 5926

Description: Define a function whose value is "the unique y such that ph ( x , y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabiota.1	|- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
opabiota.2	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
opabiota	|- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( y)

Proof of Theorem opabiota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5863	. . 3 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
2		opabiota.2	. . . 4 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	iotabidv 5566	. . 3 |- ( x = B -> ( iota y ph ) = ( iota y ps ) )
4	1, 3	eqeq12d 2465	. 2 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) = ( iota y ph ) <-> ( F ` B ) = ( iota y ps ) ) )
5		vex 3047	. . . 4 |- x e. _V
6	5	eldm 5031	. . 3 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
7		nfiota1 5547	. . . . 5 |- F/_ y ( iota y ph )
8	7	nfeq2 2606	. . . 4 |- F/ y ( F ` x ) = ( iota y ph )
9		opabiota.1	. . . . . . 7 |- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
10	9	opabiotafun 5924	. . . . . 6 |- Fun F
11		funbrfv 5901	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x F y -> ( F ` x ) = y )
13		df-br 4402	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
14	9	eleq2i 2520	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } )
15		opabid 4707	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } <-> { y | ph } = { y } )
16	13, 14, 15	3bitri 275	. . . . . . 7 |- ( x F y <-> { y | ph } = { y } )
17		ssnid 3996	. . . . . . . . 9 |- y e. { y }
18		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { y | ph } = { y } -> { y | ph } = { y } )
19	17, 18	syl5eleqr 2535	. . . . . . . 8 |- ( { y | ph } = { y } -> y e. { y | ph } )
20		abid 2438	. . . . . . . 8 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
21	19, 20	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( { y | ph } = { y } -> ph )
22	16, 21	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( x F y -> ph )
23		vex 3047	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
24	5, 23	breldm 5038	. . . . . . . 8 |- ( x F y -> x e. dom F )
25	9	opabiotadm 5925	. . . . . . . . 9 |- dom F = { x | E! y ph }
26	25	abeq2i 2562	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E! y ph )
27	24, 26	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( x F y -> E! y ph )
28		iota1 5559	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( x F y -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
30	22, 29	mpbid 214	. . . . 5 |- ( x F y -> ( iota y ph ) = y )
31	12, 30	eqtr4d 2487	. . . 4 |- ( x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
32	8, 31	exlimi 1994	. . 3 |- ( E. y x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
33	6, 32	sylbi 199	. 2 |- ( x e. dom F -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
34	4, 33	vtoclga 3112	1 |- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   E!weu 2298   {cab 2436   {csn 3967   <.cop 3973   class class class wbr 4401   {copab 4459   dom cdm 4833   iotacio 5543   Fun wfun 5575   ` cfv 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589

This theorem is referenced by: (None)