Theorem opabiota 5866

Description: Define a function whose value is "the unique y such that ph ( x , y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabiota.1	|- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
opabiota.2	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
opabiota	|- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( y)

Proof of Theorem opabiota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5802	. . 3 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
2		opabiota.2	. . . 4 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	iotabidv 5513	. . 3 |- ( x = B -> ( iota y ph ) = ( iota y ps ) )
4	1, 3	eqeq12d 2476	. 2 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) = ( iota y ph ) <-> ( F ` B ) = ( iota y ps ) ) )
5		vex 3081	. . . 4 |- x e. _V
6	5	eldm 5148	. . 3 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
7		nfiota1 5494	. . . . 5 |- F/_ y ( iota y ph )
8	7	nfeq2 2633	. . . 4 |- F/ y ( F ` x ) = ( iota y ph )
9		opabiota.1	. . . . . . 7 |- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
10	9	opabiotafun 5864	. . . . . 6 |- Fun F
11		funbrfv 5842	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x F y -> ( F ` x ) = y )
13		df-br 4404	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
14	9	eleq2i 2532	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } )
15		opabid 4707	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } <-> { y | ph } = { y } )
16	13, 14, 15	3bitri 271	. . . . . . 7 |- ( x F y <-> { y | ph } = { y } )
17		ssnid 4017	. . . . . . . . 9 |- y e. { y }
18		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { y | ph } = { y } -> { y | ph } = { y } )
19	17, 18	syl5eleqr 2549	. . . . . . . 8 |- ( { y | ph } = { y } -> y e. { y | ph } )
20		abid 2441	. . . . . . . 8 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
21	19, 20	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( { y | ph } = { y } -> ph )
22	16, 21	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( x F y -> ph )
23		vex 3081	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
24	5, 23	breldm 5155	. . . . . . . 8 |- ( x F y -> x e. dom F )
25	9	opabiotadm 5865	. . . . . . . . 9 |- dom F = { x | E! y ph }
26	25	abeq2i 2581	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E! y ph )
27	24, 26	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( x F y -> E! y ph )
28		iota1 5506	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
29	27, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( x F y -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
30	22, 29	mpbid 210	. . . . 5 |- ( x F y -> ( iota y ph ) = y )
31	12, 30	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
32	8, 31	exlimi 1850	. . 3 |- ( E. y x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
33	6, 32	sylbi 195	. 2 |- ( x e. dom F -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
34	4, 33	vtoclga 3142	1 |- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   E!weu 2262   {cab 2439   {csn 3988   <.cop 3994   class class class wbr 4403   {copab 4460   dom cdm 4951   iotacio 5490   Fun wfun 5523   ` cfv 5529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537

This theorem is referenced by: (None)