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Theorem opabiota 5926
Description: Define a function whose value is "the unique  y such that  ph ( x ,  y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
opabiota.1  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
opabiota.2  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
opabiota  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)

Proof of Theorem opabiota
StepHypRef Expression
1 fveq2 5863 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2 opabiota.2 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32iotabidv 5566 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( iota y ph )  =  ( iota y ps ) )
41, 3eqeq12d 2465 . 2  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  =  ( iota y ph )  <->  ( F `  B )  =  ( iota y ps )
) )
5 vex 3047 . . . 4  |-  x  e. 
_V
65eldm 5031 . . 3  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
7 nfiota1 5547 . . . . 5  |-  F/_ y
( iota y ph )
87nfeq2 2606 . . . 4  |-  F/ y ( F `  x
)  =  ( iota y ph )
9 opabiota.1 . . . . . . 7  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
109opabiotafun 5924 . . . . . 6  |-  Fun  F
11 funbrfv 5901 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y )
13 df-br 4402 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
149eleq2i 2520 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  {
y  |  ph }  =  { y } }
)
15 opabid 4707 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
1613, 14, 153bitri 275 . . . . . . 7  |-  ( x F y  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
17 ssnid 3996 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
{ y }
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  { y  |  ph }  =  { y } )
1917, 18syl5eleqr 2535 . . . . . . . 8  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  y  e.  { y  | 
ph } )
20 abid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
2119, 20sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  ph )
2216, 21sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ph )
23 vex 3047 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
245, 23breldm 5038 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  ->  x  e.  dom  F )
259opabiotadm 5925 . . . . . . . . 9  |-  dom  F  =  { x  |  E! y ph }
2625abeq2i 2562 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E! y ph )
2724, 26sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( x F y  ->  E! y ph )
28 iota1 5559 . . . . . . 7  |-  ( E! y ph  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
2927, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
3022, 29mpbid 214 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( iota y ph )  =  y )
3112, 30eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph ) )
328, 31exlimi 1994 . . 3  |-  ( E. y  x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph )
)
336, 32sylbi 199 . 2  |-  ( x  e.  dom  F  -> 
( F `  x
)  =  ( iota y ph ) )
344, 33vtoclga 3112 1  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   E!weu 2298   {cab 2436   {csn 3967   <.cop 3973   class class class wbr 4401   {copab 4459   dom cdm 4833   iotacio 5543   Fun wfun 5575   ` cfv 5581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589
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