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Theorem opabiota 5866
Description: Define a function whose value is "the unique  y such that  ph ( x ,  y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
opabiota.1  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
opabiota.2  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
opabiota  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( y)

Proof of Theorem opabiota
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
2 opabiota.2 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32iotabidv 5513 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  ( iota y ph )  =  ( iota y ps ) )
41, 3eqeq12d 2476 . 2  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  =  ( iota y ph )  <->  ( F `  B )  =  ( iota y ps )
) )
5 vex 3081 . . . 4  |-  x  e. 
_V
65eldm 5148 . . 3  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
7 nfiota1 5494 . . . . 5  |-  F/_ y
( iota y ph )
87nfeq2 2633 . . . 4  |-  F/ y ( F `  x
)  =  ( iota y ph )
9 opabiota.1 . . . . . . 7  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }
109opabiotafun 5864 . . . . . 6  |-  Fun  F
11 funbrfv 5842 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  y )
13 df-br 4404 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
149eleq2i 2532 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  {
y  |  ph }  =  { y } }
)
15 opabid 4707 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  { y  |  ph }  =  {
y } }  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
1613, 14, 153bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( x F y  <->  { y  |  ph }  =  {
y } )
17 ssnid 4017 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
{ y }
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  { y  |  ph }  =  { y } )
1917, 18syl5eleqr 2549 . . . . . . . 8  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  y  e.  { y  | 
ph } )
20 abid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { y  | 
ph }  <->  ph )
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  ph }  =  { y }  ->  ph )
2216, 21sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ph )
23 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
245, 23breldm 5155 . . . . . . . 8  |-  ( x F y  ->  x  e.  dom  F )
259opabiotadm 5865 . . . . . . . . 9  |-  dom  F  =  { x  |  E! y ph }
2625abeq2i 2581 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E! y ph )
2724, 26sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( x F y  ->  E! y ph )
28 iota1 5506 . . . . . . 7  |-  ( E! y ph  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( x F y  ->  ( ph 
<->  ( iota y ph )  =  y )
)
3022, 29mpbid 210 . . . . 5  |-  ( x F y  ->  ( iota y ph )  =  y )
3112, 30eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph ) )
328, 31exlimi 1850 . . 3  |-  ( E. y  x F y  ->  ( F `  x )  =  ( iota y ph )
)
336, 32sylbi 195 . 2  |-  ( x  e.  dom  F  -> 
( F `  x
)  =  ( iota y ph ) )
344, 33vtoclga 3142 1  |-  ( B  e.  dom  F  -> 
( F `  B
)  =  ( iota y ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   E!weu 2262   {cab 2439   {csn 3988   <.cop 3994   class class class wbr 4403   {copab 4460   dom cdm 4951   iotacio 5490   Fun wfun 5523   ` cfv 5529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537
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