Theorem opabiota 5936

Description: Define a function whose value is "the unique y such that ph ( x , y )". (Contributed by NM, 16-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
opabiota.1	|- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
opabiota.2	|- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
opabiota	|- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, F, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( y)

Proof of Theorem opabiota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . 3 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
2		opabiota.2	. . . 4 |- ( x = B -> ( ph <-> ps ) )
3	2	iotabidv 5578	. . 3 |- ( x = B -> ( iota y ph ) = ( iota y ps ) )
4	1, 3	eqeq12d 2479	. 2 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) = ( iota y ph ) <-> ( F ` B ) = ( iota y ps ) ) )
5		vex 3112	. . . 4 |- x e. _V
6	5	eldm 5210	. . 3 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
7		nfiota1 5559	. . . . 5 |- F/_ y ( iota y ph )
8	7	nfeq2 2636	. . . 4 |- F/ y ( F ` x ) = ( iota y ph )
9		opabiota.1	. . . . . . 7 |- F = { <. x , y >. | { y | ph } = { y } }
10	9	opabiotafun 5934	. . . . . 6 |- Fun F
11		funbrfv 5911	. . . . . 6 |- ( Fun F -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x F y -> ( F ` x ) = y )
13		df-br 4457	. . . . . . . 8 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
14	9	eleq2i 2535	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } )
15		opabid 4763	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | { y | ph } = { y } } <-> { y | ph } = { y } )
16	13, 14, 15	3bitri 271	. . . . . . 7 |- ( x F y <-> { y | ph } = { y } )
17		ssnid 4061	. . . . . . . . 9 |- y e. { y }
18		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( { y | ph } = { y } -> { y | ph } = { y } )
19	17, 18	syl5eleqr 2552	. . . . . . . 8 |- ( { y | ph } = { y } -> y e. { y | ph } )
20		abid 2444	. . . . . . . 8 |- ( y e. { y | ph } <-> ph )
21	19, 20	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( { y | ph } = { y } -> ph )
22	16, 21	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( x F y -> ph )
23		vex 3112	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
24	5, 23	breldm 5217	. . . . . . . 8 |- ( x F y -> x e. dom F )
25	9	opabiotadm 5935	. . . . . . . . 9 |- dom F = { x | E! y ph }
26	25	abeq2i 2584	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E! y ph )
27	24, 26	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( x F y -> E! y ph )
28		iota1 5571	. . . . . . 7 |- ( E! y ph -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
29	27, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( x F y -> ( ph <-> ( iota y ph ) = y ) )
30	22, 29	mpbid 210	. . . . 5 |- ( x F y -> ( iota y ph ) = y )
31	12, 30	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
32	8, 31	exlimi 1913	. . 3 |- ( E. y x F y -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
33	6, 32	sylbi 195	. 2 |- ( x e. dom F -> ( F ` x ) = ( iota y ph ) )
34	4, 33	vtoclga 3173	1 |- ( B e. dom F -> ( F ` B ) = ( iota y ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   E!weu 2283   {cab 2442   {csn 4032   <.cop 4038   class class class wbr 4456   {copab 4514   dom cdm 5008   iotacio 5555   Fun wfun 5588   ` cfv 5594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602

This theorem is referenced by: (None)