Theorem opabidOLD 3558

Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61.

Assertion

Ref	Expression
opabidOLD	|- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem opabidOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelab 2013	. 2 |- (<.x, y>. e. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
2		df-opab 3396	. . 3 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
3	2	eleq2i 1961	. 2 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.x, y>. e. {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)})
4		19.41v 1685	. . . . . 6 |- (E.z((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> (E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph))
5		anass 487	. . . . . . 7 |- (((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> (z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
6	5	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.z((z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
7		eqcom 1886	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = <.w, v>. <-> <.w, v>. = <.x, y>.)
8		opex 3527	. . . . . . . . 9 |- <.x, y>. e. _V
9	8	eqvinc 2387	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. = <.w, v>. <-> E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.))
10		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
11		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
12		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
13	10, 11, 12	opth 3532	. . . . . . . 8 |- (<.w, v>. = <.x, y>. <-> (w = x /\ v = y))
14	7, 9, 13	3bitr3i 198	. . . . . . 7 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) <-> (w = x /\ v = y))
15	14	anbi1i 539	. . . . . 6 |- ((E.z(z = <.x, y>. /\ z = <.w, v>.) /\ [v / y][w / x]ph) <-> ((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph))
16	4, 6, 15	3bitr3ri 199	. . . . 5 |- (((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
17	16	2exbii 1399	. . . 4 |- (E.wE.v((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
18		sbel2x 1736	. . . 4 |- (ph <-> E.wE.v((w = x /\ v = y) /\ [v / y][w / x]ph))
19		excom 1393	. . . . 5 |- (E.zE.wE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
20		exdistr2 1692	. . . . 5 |- (E.zE.wE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
21		excom 1393	. . . . . 6 |- (E.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
22	21	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.wE.zE.v(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
23	19, 20, 22	3bitr3i 198	. . . 4 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)) <-> E.wE.vE.z(z = <.x, y>. /\ (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
24	17, 18, 23	3bitr4i 200	. . 3 |- (ph <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
25		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> A.wE.y(z = <.x, y>. /\ ph))
26		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (z = <.w, y>. -> A.x z = <.w, y>.)
27		hbs1 1722	. . . . . . . . 9 |- ([w / x]ph -> A.x[w / x]ph)
28	26, 27	hban 1356	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.x(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
29	28	hbex 1353	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.xE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
30		opeq1 3158	. . . . . . . . . 10 |- (x = w -> <.x, y>. = <.w, y>.)
31	30	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (x = w -> (z = <.x, y>. <-> z = <.w, y>.))
32		sbequ12 1545	. . . . . . . . 9 |- (x = w -> (ph <-> [w / x]ph))
33	31, 32	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (x = w -> ((z = <.x, y>. /\ ph) <-> (z = <.w, y>. /\ [w / x]ph)))
34	33	exbidv 1657	. . . . . . 7 |- (x = w -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph)))
35	25, 29, 34	cbvex 1529	. . . . . 6 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.wE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
36		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) -> A.v(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph))
37		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (z = <.w, v>. -> A.y z = <.w, v>.)
38		hbs1 1722	. . . . . . . . 9 |- ([v / y][w / x]ph -> A.y[v / y][w / x]ph)
39	37, 38	hban 1356	. . . . . . . 8 |- ((z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph) -> A.y(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
40		opeq2 3159	. . . . . . . . . 10 |- (y = v -> <.w, y>. = <.w, v>.)
41	40	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> (z = <.w, y>. <-> z = <.w, v>.))
42		sbequ12 1545	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> ([w / x]ph <-> [v / y][w / x]ph))
43	41, 42	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (y = v -> ((z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> (z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
44	36, 39, 43	cbvex 1529	. . . . . . 7 |- (E.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> E.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
45	44	exbii 1398	. . . . . 6 |- (E.wE.y(z = <.w, y>. /\ [w / x]ph) <-> E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
46	35, 45	bitri 190	. . . . 5 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) <-> E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph))
47	46	anbi2i 538	. . . 4 |- ((z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)) <-> (z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
48	47	exbii 1398	. . 3 |- (E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)) <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.wE.v(z = <.w, v>. /\ [v / y][w / x]ph)))
49	24, 48	bitr4i 193	. 2 |- (ph <-> E.z(z = <.x, y>. /\ E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
50	1, 3, 49	3bitr4i 200	1 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  {cab 1871  <.cop 3046  {copab 3395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396

Copyright terms: Public domain