Theorem opabid2 4107

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction.

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- (Rel A -> {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem opabid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . 4 |- z e. _V
2		visset 2295	. . . 4 |- w e. _V
3		opeq1 3158	. . . . 5 |- (x = z -> <.x, y>. = <.z, y>.)
4	3	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = z -> (<.x, y>. e. A <-> <.z, y>. e. A))
5		opeq2 3159	. . . . 5 |- (y = w -> <.z, y>. = <.z, w>.)
6	5	eleq1d 1963	. . . 4 |- (y = w -> (<.z, y>. e. A <-> <.z, w>. e. A))
7	1, 2, 4, 6	opelopab 3570	. . 3 |- (<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)
8	7	gen2 1329	. 2 |- A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)
9		relopab 4104	. . 3 |- Rel {<.x, y>. | <.x, y>. e. A}
10		eqrel 4077	. . 3 |- ((Rel {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} /\ Rel A) -> ({<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A <-> A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)))
11	9, 10	mpan 759	. 2 |- (Rel A -> ({<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A <-> A.zA.w(<.z, w>. e. {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} <-> <.z, w>. e. A)))
12	8, 11	mpbiri 211	1 |- (Rel A -> {<.x, y>. | <.x, y>. e. A} = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046  {copab 3395  Rel wrel 3991

This theorem is referenced by:  dmoprabss6 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001

Copyright terms: Public domain