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Theorem opabex3d 6558
Description: Existence of an ordered pair abstraction, deduction version. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
opabex3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3d  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( x, y)

Proof of Theorem opabex3d
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1924 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
2 an12 795 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
32exbii 1634 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
4 elxp 4860 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
5 excom 1787 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
6 an12 795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
7 elsn 3894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
96, 8bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
109exbii 1634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
11 vex 2978 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 4062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
1511, 14ceqsexv 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1610, 15bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1716exbii 1634 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
185, 17bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
19 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2433 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ps }
2119, 20nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )
22 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps )
23 opeq2 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 sbequ12 1936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
2625equcoms 1733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
27 df-clab 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  |  ps }  <->  [ w  /  y ] ps )
2826, 27syl6rbbr 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ps }  <->  ps )
)
2924, 28anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
3021, 22, 29cbvex 1970 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) )
314, 18, 303bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )
3231anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 278 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) ) )
3433exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
35 eliun 4178 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )
36 df-rex 2724 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
3735, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
38 elopab 4600 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 277 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) } )
4039eqriv 2440 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }
41 opabex3d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
42 snex 4536 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
43 opabex3d.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
44 xpexg 6510 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  |  ps }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e. 
_V )
4542, 43, 44sylancr 663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4645ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
47 iunexg 6556 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4841, 46, 47syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4940, 48syl5eqelr 2528 1  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586   [wsb 1700    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975   {csn 3880   <.cop 3886   U_ciun 4174   {copab 4352    X. cxp 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429
This theorem is referenced by:  wlks  23428  wlkres  23431  trls  23438  crcts  23511  cycls  23512  fpwrelmap  26036
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