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Theorem opabex3d 6797
Description: Existence of an ordered pair abstraction, deduction version. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
opabex3d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
opabex3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
opabex3d  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y)    ps( x, y)

Proof of Theorem opabex3d
Dummy variables  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1844 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. y ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
2 an12 811 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
32exbii 1728 . . . . . 6  |-  ( E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
4 elxp 4869 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. v E. w ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
5 excom 1937 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
6 an12 811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  e.  { x }  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
7 elsn 3993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  { x }  <->  v  =  x )
87anbi1i 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  { x }  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
96, 8bitri 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( v  =  x  /\  (
z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
109exbii 1728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  E. v
( v  =  x  /\  ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) ) )
11 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
12 opeq1 4179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  x  ->  <. v ,  w >.  =  <. x ,  w >. )
1312eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  x  ->  (
z  =  <. v ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  w >. )
)
1413anbi1d 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  x  ->  (
( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) ) )
1511, 14ceqsexv 3095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v ( v  =  x  /\  ( z  =  <. v ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1610, 15bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. v ( z  = 
<. v ,  w >.  /\  ( v  e.  {
x }  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )  <->  ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )
1716exbii 1728 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
185, 17bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( E. v E. w ( z  =  <. v ,  w >.  /\  (
v  e.  { x }  /\  w  e.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. w
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } ) )
19 nfv 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  z  =  <. x ,  w >.
20 nfsab1 2451 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  w  e.  { y  |  ps }
2119, 20nfan 2021 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )
22 nfv 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps )
23 opeq2 4180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  <. x ,  w >.  =  <. x ,  y >. )
2423eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
z  =  <. x ,  w >.  <->  z  =  <. x ,  y >. )
)
25 sbequ12 2093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
2625equcoms 1874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( ps 
<->  [ w  /  y ] ps ) )
27 df-clab 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { y  |  ps }  <->  [ w  /  y ] ps )
2826, 27syl6rbbr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  { y  |  ps }  <->  ps )
)
2924, 28anbi12d 722 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  =  <. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  ( z  =  <. x ,  y
>.  /\  ps ) ) )
3021, 22, 29cbvex 2125 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( z  = 
<. x ,  w >.  /\  w  e.  { y  |  ps } )  <->  E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ps ) )
314, 18, 303bitri 279 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) )
3231anbi2i 705 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ps ) ) )
331, 3, 323bitr4ri 286 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
) )  <->  E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  ps ) ) )
3433exbii 1728 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
35 eliun 4296 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) )
36 df-rex 2754 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
3735, 36bitri 257 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  ( { x }  X.  { y  |  ps } ) ) )
38 elopab 4722 . . . 4  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  <->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  ps ) ) )
3934, 37, 383bitr4i 285 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  <->  z  e.  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) } )
4039eqriv 2458 . 2  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  {
y  |  ps }
)  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }
41 opabex3d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
42 snex 4654 . . . . 5  |-  { x }  e.  _V
43 opabex3d.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { y  |  ps }  e.  _V )
44 xpexg 6619 . . . . 5  |-  ( ( { x }  e.  _V  /\  { y  |  ps }  e.  _V )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e. 
_V )
4542, 43, 44sylancr 674 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4645ralrimiva 2813 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
47 iunexg 6795 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4841, 46, 47syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { y  |  ps } )  e.  _V )
4940, 48syl5eqelr 2544 1  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  A  /\  ps ) }  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673   [wsb 1807    e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   {csn 3979   <.cop 3985   U_ciun 4291   {copab 4473    X. cxp 4850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608
This theorem is referenced by:  wlks  25295  wlkres  25298  trls  25314  crcts  25398  cycls  25399  fpwrelmap  28366  opabresex0d  39070  1wlksfval  39673  wlksfval  39674
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