Theorem opabex2g 4540

Description: Existence of a function expressed as class of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
opabex2g	|- (A e. C -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. _V)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem opabex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funex 4537	. 2 |- ((Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} /\ dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. _V) -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. _V)
2		funopab 4455	. . 3 |- (Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} <-> A.xE*y(x e. A /\ y = B))
3		moeq 2431	. . . 4 |- E*y y = B
4	3	moani 1820	. . 3 |- E*y(x e. A /\ y = B)
5	2, 4	mpgbir 1334	. 2 |- Fun {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
6		dmopabss 4168	. . 3 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} C_ A
7		ssexg 3457	. . 3 |- ((dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} C_ A /\ A e. C) -> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. _V)
8	6, 7	mpan 759	. 2 |- (A e. C -> dom {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. _V)
9	1, 5, 8	sylancr 526	1 |- (A e. C -> {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)} e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {copab 3395  dom cdm 3986  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  mptexg 5012  qsexg 5352  ntrfval 8943  clsfval 8944  neifval 8990  lpfval 9018  cnpfval 9033  grpinvfval 9350  grplactfval 9404  upxp 10225  uptx 10226  sfvlim 10296  ispr1 14496  isprj1 14505  cur1val 14546  homcard 14893  rcfpfil 14934  fclusff 15623  upixp 15729

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009

Copyright terms: Public domain