MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2ndd Structured version   Unicode version

Theorem op2ndd 6795
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2ndd  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )

Proof of Theorem op2ndd
StepHypRef Expression
1 fveq2 5866 . 2  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  ( 2nd `  <. A ,  B >. ) )
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nd 6793 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
51, 4syl6eq 2524 1  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   <.cop 4033   ` cfv 5588   2ndc2nd 6783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-2nd 6785
This theorem is referenced by:  2nd2val  6811  xp2nd  6815  sbcopeq1a  6836  csbopeq1a  6837  eloprabi  6846  mpt2mptsx  6847  dmmpt2ssx  6849  fmpt2x  6850  ovmptss  6864  fmpt2co  6866  df2nd2  6870  frxp  6893  xporderlem  6894  fnwelem  6898  xpf1o  7679  mapunen  7686  xpwdomg  8011  hsmexlem2  8807  nqereu  9307  uzrdgfni  12037  fsumcom2  13552  qredeu  14107  comfeq  14962  isfuncd  15092  cofucl  15115  funcres2b  15124  funcpropd  15127  xpcco2nd  15312  xpccatid  15315  1stf2  15320  2ndf2  15323  1stfcl  15324  2ndfcl  15325  prf2fval  15328  prfcl  15330  evlf2  15345  evlfcl  15349  curf12  15354  curf1cl  15355  curf2  15356  curfcl  15359  hof2fval  15382  hofcl  15386  txbas  19831  cnmpt2nd  19933  txhmeo  20067  ptuncnv  20071  ptunhmeo  20072  xpstopnlem1  20073  xkohmeo  20079  prdstmdd  20385  ucnimalem  20546  fmucndlem  20557  fsum2cn  21138  ovoliunlem1  21676  usgrac  24055  edgss  24056  fcnvgreu  27214  gsummpt2co  27462  fimaproj  27527  eulerpartlemgs2  27987  fprodcom2  28719  finixpnum  29643  heicant  29654  filnetlem4  29830  heiborlem4  29941  heiborlem6  29943  rmxypairf1o  30479  unxpwdom3  30673  fgraphxp  30804  dmmpt2ssx2  32022  lmod1zr  32193  dicelvalN  35993
  Copyright terms: Public domain W3C validator