MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2ndd Structured version   Unicode version

Theorem op2ndd 6587
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2ndd  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )

Proof of Theorem op2ndd
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . 2  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  ( 2nd `  <. A ,  B >. ) )
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nd 6585 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
51, 4syl6eq 2489 1  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   <.cop 3880   ` cfv 5415   2ndc2nd 6575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-2nd 6577
This theorem is referenced by:  2nd2val  6602  xp2nd  6606  sbcopeq1a  6625  csbopeq1a  6626  eloprabi  6635  mpt2mptsx  6636  dmmpt2ssx  6638  fmpt2x  6639  ovmptss  6653  fmpt2co  6655  df2nd2  6659  frxp  6681  xporderlem  6682  fnwelem  6686  xpf1o  7469  mapunen  7476  xpwdomg  7796  hsmexlem2  8592  nqereu  9094  uzrdgfni  11777  fsumcom2  13237  qredeu  13789  comfeq  14641  isfuncd  14771  cofucl  14794  funcres2b  14803  funcpropd  14806  xpcco2nd  14991  xpccatid  14994  1stf2  14999  2ndf2  15002  1stfcl  15003  2ndfcl  15004  prf2fval  15007  prfcl  15009  evlf2  15024  evlfcl  15028  curf12  15033  curf1cl  15034  curf2  15035  curfcl  15038  hof2fval  15061  hofcl  15065  txbas  19099  cnmpt2nd  19201  txhmeo  19335  ptuncnv  19339  ptunhmeo  19340  xpstopnlem1  19341  xkohmeo  19347  prdstmdd  19653  ucnimalem  19814  fmucndlem  19825  fsum2cn  20406  ovoliunlem1  20944  fcnvgreu  25926  gsummpt2co  26184  eulerpartlemgs2  26693  fprodcom2  27424  finixpnum  28339  heicant  28351  filnetlem4  28527  heiborlem4  28638  heiborlem6  28640  rmxypairf1o  29177  unxpwdom3  29373  fgraphxp  29504  dmmpt2ssx2  30651  lmod1zr  30876  dicelvalN  34545
  Copyright terms: Public domain W3C validator