MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2ndd Structured version   Unicode version

Theorem op2ndd 6784
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2ndd  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )

Proof of Theorem op2ndd
StepHypRef Expression
1 fveq2 5848 . 2  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  ( 2nd `  <. A ,  B >. ) )
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nd 6782 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
51, 4syl6eq 2511 1  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  C
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   <.cop 4022   ` cfv 5570   2ndc2nd 6772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-2nd 6774
This theorem is referenced by:  2nd2val  6800  xp2nd  6804  sbcopeq1a  6825  csbopeq1a  6826  eloprabi  6835  mpt2mptsx  6836  dmmpt2ssx  6838  fmpt2x  6839  ovmptss  6854  fmpt2co  6856  df2nd2  6860  frxp  6883  xporderlem  6884  fnwelem  6888  xpf1o  7672  mapunen  7679  xpwdomg  8003  hsmexlem2  8798  nqereu  9296  uzrdgfni  12051  fsumcom2  13671  fprodcom2  13870  qredeu  14332  comfeq  15194  isfuncd  15353  cofucl  15376  funcres2b  15385  funcpropd  15388  xpcco2nd  15653  xpccatid  15656  1stf2  15661  2ndf2  15664  1stfcl  15665  2ndfcl  15666  prf2fval  15669  prfcl  15671  evlf2  15686  evlfcl  15690  curf12  15695  curf1cl  15696  curf2  15697  curfcl  15700  hof2fval  15723  hofcl  15727  txbas  20234  cnmpt2nd  20336  txhmeo  20470  ptuncnv  20474  ptunhmeo  20475  xpstopnlem1  20476  xkohmeo  20482  prdstmdd  20788  ucnimalem  20949  fmucndlem  20960  fsum2cn  21541  ovoliunlem1  22079  usgrac  24553  edgss  24554  fcnvgreu  27741  gsummpt2co  28005  fimaproj  28071  esumiun  28323  eulerpartlemgs2  28583  msubrsub  29150  msubco  29155  msubvrs  29184  finixpnum  30278  heicant  30289  filnetlem4  30439  heiborlem4  30550  heiborlem6  30552  rmxypairf1o  31086  unxpwdom3  31280  fgraphxp  31412  dvnprodlem2  31983  etransclem46  32302  dmmpt2ssx2  33180  lmod1zr  33348  dicelvalN  37302
  Copyright terms: Public domain W3C validator