MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2nd Structured version   Unicode version

Theorem op2nd 6794
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2nd  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 2ndval 6788 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  U. ran  {
<. A ,  B >. }
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nda 5483 . 2  |-  U. ran  {
<. A ,  B >. }  =  B
51, 4eqtri 2472 1  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   {csn 4014   <.cop 4020   U.cuni 4234   ran crn 4990   ` cfv 5578   2ndc2nd 6784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-2nd 6786
This theorem is referenced by:  op2ndd  6796  op2ndg  6798  2ndval2  6803  fo2ndres  6810  eloprabi  6847  fo2ndf  6892  f1o2ndf1  6893  seqomlem1  7117  seqomlem2  7118  xpmapenlem  7686  fseqenlem2  8409  axdc4lem  8838  iunfo  8917  archnq  9361  om2uzrdg  12049  uzrdgsuci  12053  fsum2dlem  13567  fprod2dlem  13766  ruclem8  13952  ruclem11  13955  eucalglt  14196  idfu2nd  15225  idfucl  15229  cofu2nd  15233  cofucl  15236  xpccatid  15436  prf2nd  15453  curf2ndf  15495  yonedalem22  15526  gaid  16316  2ndcctbss  19934  upxp  20102  uptx  20104  txkgen  20131  cnheiborlem  21432  ovollb2lem  21877  ovolctb  21879  ovoliunlem2  21892  ovolshftlem1  21898  ovolscalem1  21902  ovolicc1  21905  wlknwwlknsur  24690  wlkiswwlksur  24697  clwlkfoclwwlk  24823  ex-2nd  25144  cnnvs  25564  cnnvnm  25565  h2hsm  25870  h2hnm  25871  hhsssm  26154  hhssnm  26155  eulerpartlemgvv  28293  eulerpartlemgh  28295  msubff1  28894  msubvrs  28898  br2ndeq  29181  heiborlem7  30289  heiborlem8  30290  pellexlem5  30745  pellex  30747  dvnprodlem1  31697  dvhvaddass  36699  dvhlveclem  36710  diblss  36772
  Copyright terms: Public domain W3C validator