MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2nd Structured version   Unicode version

Theorem op2nd 6581
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2nd  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 2ndval 6575 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  U. ran  {
<. A ,  B >. }
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nda 5319 . 2  |-  U. ran  {
<. A ,  B >. }  =  B
51, 4eqtri 2458 1  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872   <.cop 3878   U.cuni 4086   ran crn 4836   ` cfv 5413   2ndc2nd 6571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fv 5421  df-2nd 6573
This theorem is referenced by:  op2ndd  6583  op2ndg  6585  2ndval2  6590  fo2ndres  6596  eloprabi  6631  fo2ndf  6674  f1o2ndf1  6675  seqomlem1  6897  seqomlem2  6898  xpmapenlem  7470  fseqenlem2  8187  axdc4lem  8616  iunfo  8695  archnq  9141  om2uzrdg  11771  uzrdgsuci  11775  fsum2dlem  13229  ruclem8  13511  ruclem11  13514  eucalglt  13752  idfu2nd  14779  idfucl  14783  cofu2nd  14787  cofucl  14790  xpccatid  14990  prf2nd  15007  curf2ndf  15049  yonedalem22  15080  gaid  15808  2ndcctbss  19039  upxp  19176  uptx  19178  txkgen  19205  cnheiborlem  20506  ovollb2lem  20951  ovolctb  20953  ovoliunlem2  20966  ovolshftlem1  20972  ovolscalem1  20976  ovolicc1  20979  ex-2nd  23620  cnnvs  24039  cnnvnm  24040  h2hsm  24345  h2hnm  24346  hhsssm  24629  hhssnm  24630  eulerpartlemgvv  26728  eulerpartlemgh  26730  fprod2dlem  27460  br2ndeq  27555  heiborlem7  28687  heiborlem8  28688  pellexlem5  29145  pellex  29147  wlknwwlknsur  30315  wlkiswwlksur  30322  clwlkfoclwwlk  30489  dvhvaddass  34635  dvhlveclem  34646  diblss  34708
  Copyright terms: Public domain W3C validator