MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op2nd Structured version   Unicode version

Theorem op2nd 6790
Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op2nd  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B

Proof of Theorem op2nd
StepHypRef Expression
1 2ndval 6784 . 2  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  U. ran  {
<. A ,  B >. }
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op2nda 5491 . 2  |-  U. ran  {
<. A ,  B >. }  =  B
51, 4eqtri 2496 1  |-  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033   U.cuni 4245   ran crn 5000   ` cfv 5586   2ndc2nd 6780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-2nd 6782
This theorem is referenced by:  op2ndd  6792  op2ndg  6794  2ndval2  6799  fo2ndres  6806  eloprabi  6843  fo2ndf  6887  f1o2ndf1  6888  seqomlem1  7112  seqomlem2  7113  xpmapenlem  7681  fseqenlem2  8402  axdc4lem  8831  iunfo  8910  archnq  9354  om2uzrdg  12030  uzrdgsuci  12034  fsum2dlem  13541  ruclem8  13824  ruclem11  13827  eucalglt  14066  idfu2nd  15097  idfucl  15101  cofu2nd  15105  cofucl  15108  xpccatid  15308  prf2nd  15325  curf2ndf  15367  yonedalem22  15398  gaid  16129  2ndcctbss  19719  upxp  19856  uptx  19858  txkgen  19885  cnheiborlem  21186  ovollb2lem  21631  ovolctb  21633  ovoliunlem2  21646  ovolshftlem1  21652  ovolscalem1  21656  ovolicc1  21659  wlknwwlknsur  24385  wlkiswwlksur  24392  clwlkfoclwwlk  24518  ex-2nd  24840  cnnvs  25259  cnnvnm  25260  h2hsm  25565  h2hnm  25566  hhsssm  25849  hhssnm  25850  eulerpartlemgvv  27952  eulerpartlemgh  27954  fprod2dlem  28684  br2ndeq  28779  heiborlem7  29914  heiborlem8  29915  pellexlem5  30371  pellex  30373  dvhvaddass  35894  dvhlveclem  35905  diblss  35967
  Copyright terms: Public domain W3C validator