MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  op1std Structured version   Unicode version

Theorem op1std 6673
Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
op1st.1  |-  A  e. 
_V
op1st.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
op1std  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  C
)  =  A )

Proof of Theorem op1std
StepHypRef Expression
1 fveq2 5775 . 2  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  C
)  =  ( 1st `  <. A ,  B >. ) )
2 op1st.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 op1st.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
42, 3op1st 6671 . 2  |-  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A
51, 4syl6eq 2506 1  |-  ( C  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  C
)  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054   <.cop 3967   ` cfv 5502   1stc1st 6661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fv 5510  df-1st 6663
This theorem is referenced by:  1st2val  6688  xp1st  6692  sbcopeq1a  6712  csbopeq1a  6713  eloprabi  6722  mpt2mptsx  6723  dmmpt2ssx  6725  fmpt2x  6726  ovmptss  6740  fmpt2co  6742  df1st2  6745  fsplit  6763  frxp  6768  xporderlem  6769  fnwelem  6773  xpf1o  7559  mapunen  7566  xpwdomg  7887  hsmexlem2  8683  fsumcom2  13329  qredeu  13881  isfuncd  14863  cofucl  14886  funcres2b  14895  funcpropd  14898  xpcco1st  15082  xpccatid  15086  1stf1  15090  2ndf1  15093  1stfcl  15095  prf1  15098  prfcl  15101  prf1st  15102  prf2nd  15103  evlf1  15118  evlfcl  15120  curf1fval  15122  curf11  15124  curf1cl  15126  curfcl  15130  hof1fval  15151  txbas  19242  cnmpt1st  19343  txhmeo  19478  ptuncnv  19482  ptunhmeo  19483  xpstopnlem1  19484  xkohmeo  19490  prdstmdd  19796  ucnimalem  19957  fmucndlem  19968  fsum2cn  20549  ovoliunlem1  21087  lgsquadlem1  22795  lgsquadlem2  22796  eulerpartlemgs2  26883  cvmliftlem15  27307  fprodcom2  27615  finixpnum  28538  heicant  28550  filnetlem4  28726  rmxypairf1o  29376  unxpwdom3  29572  fgraphxp  29703  dmmpt2ssx2  30851  dicelvalN  35105
  Copyright terms: Public domain W3C validator