Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op1cl Structured version   Unicode version

Theorem op1cl 32842
Description: An orthoposet has a unit element. (helch 24658 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op1cl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op1cl.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
op1cl  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem op1cl
StepHypRef Expression
1 op1cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 op1cl.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
41, 2, 3p1val 15224 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  =  ( ( lub `  K ) `  B
) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
71, 2, 6op01dm 32840 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
87simpld 459 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( lub `  K
) )
91, 2, 5, 8lubcl 15167 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( lub `  K
) `  B )  e.  B )
104, 9eqeltrd 2517 1  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   dom cdm 4852   ` cfv 5430   Basecbs 14186   lubclub 15124   glbcglb 15125   1.cp1 15220   OPcops 32829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-lub 15156  df-p1 15222  df-oposet 32833
This theorem is referenced by:  op1le  32849  glb0N  32850  opoc1  32859  opoc0  32860  olm11  32884  olm12  32885  ncvr1  32929  hlhgt2  33045  hl0lt1N  33046  hl2at  33061  athgt  33112  1cvrco  33128  1cvrjat  33131  pmap1N  33423  pol1N  33566  lhp2lt  33657  lhpexnle  33662  dih1  34943  dih1rn  34944  dih1cnv  34945  dihglb2  34999  dochocss  35023  dihjatc  35074
  Copyright terms: Public domain W3C validator