Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op1cl Structured version   Unicode version

Theorem op1cl 34000
Description: An orthoposet has a unit element. (helch 25865 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op1cl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op1cl.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
op1cl  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem op1cl
StepHypRef Expression
1 op1cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 op1cl.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
41, 2, 3p1val 15529 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  =  ( ( lub `  K ) `  B
) )
5 id 22 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
71, 2, 6op01dm 33998 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
87simpld 459 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( lub `  K
) )
91, 2, 5, 8lubcl 15472 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( lub `  K
) `  B )  e.  B )
104, 9eqeltrd 2555 1  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   dom cdm 4999   ` cfv 5588   Basecbs 14490   lubclub 15429   glbcglb 15430   1.cp1 15525   OPcops 33987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-lub 15461  df-p1 15527  df-oposet 33991
This theorem is referenced by:  op1le  34007  glb0N  34008  opoc1  34017  opoc0  34018  olm11  34042  olm12  34043  ncvr1  34087  hlhgt2  34203  hl0lt1N  34204  hl2at  34219  athgt  34270  1cvrco  34286  1cvrjat  34289  pmap1N  34581  pol1N  34724  lhp2lt  34815  lhpexnle  34820  dih1  36101  dih1rn  36102  dih1cnv  36103  dihglb2  36157  dochocss  36181  dihjatc  36232
  Copyright terms: Public domain W3C validator