Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op1cl Structured version   Unicode version

Theorem op1cl 32460
Description: An orthoposet has a unit element. (helch 26731 analog.) (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op1cl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op1cl.u  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
Assertion
Ref Expression
op1cl  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )

Proof of Theorem op1cl
StepHypRef Expression
1 op1cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 op1cl.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1. `  K )
41, 2, 3p1val 16239 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  =  ( ( lub `  K ) `  B
) )
5 id 23 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  K  e.  OP )
6 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
71, 2, 6op01dm 32458 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
87simpld 460 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( lub `  K
) )
91, 2, 5, 8lubcl 16182 . 2  |-  ( K  e.  OP  ->  (
( lub `  K
) `  B )  e.  B )
104, 9eqeltrd 2517 1  |-  ( K  e.  OP  ->  .1.  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   dom cdm 4854   ` cfv 5601   Basecbs 15084   lubclub 16138   glbcglb 16139   1.cp1 16235   OPcops 32447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-lub 16171  df-p1 16237  df-oposet 32451
This theorem is referenced by:  op1le  32467  glb0N  32468  opoc1  32477  opoc0  32478  olm11  32502  olm12  32503  ncvr1  32547  hlhgt2  32663  hl0lt1N  32664  hl2at  32679  athgt  32730  1cvrco  32746  1cvrjat  32749  pmap1N  33041  pol1N  33184  lhp2lt  33275  lhpexnle  33280  dih1  34563  dih1rn  34564  dih1cnv  34565  dihglb2  34619  dochocss  34643  dihjatc  34694
  Copyright terms: Public domain W3C validator