Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Unicode version

Theorem op0le 35324
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 26476 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op0le.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
op0le.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
op0le  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .0.  .<_  X )

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2382 . 2  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 op0le.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 op0le.z . 2  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
5 simpl 455 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
6 simpr 459 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
81, 7, 2op01dm 35321 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
98simprd 461 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( glb `  K
) )
109adantr 463 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  dom  ( glb `  K ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 15790 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .0.  .<_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   dom cdm 4913   ` cfv 5496   Basecbs 14634   lecple 14709   lubclub 15688   glbcglb 15689   0.cp0 15784   OPcops 35310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-glb 15722  df-p0 15786  df-oposet 35314
This theorem is referenced by:  ople0  35325  opnlen0  35326  lub0N  35327  opltn0  35328  olj01  35363  olm01  35374  leatb  35430  1cvratex  35610  llnn0  35653  lplnn0N  35684  lvoln0N  35728  dalemcea  35797  ltrnatb  36274  ltrnmwOLD  36289  tendo0tp  36928  cdlemk39s-id  37079  dia0eldmN  37180  dib0  37304  dih0  37420  dihmeetlem18N  37464
  Copyright terms: Public domain W3C validator