Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Unicode version

Theorem op0le 32404
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 24667 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op0le.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
op0le.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
op0le  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .0.  .<_  X )

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2433 . 2  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 op0le.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 op0le.z . 2  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
5 simpl 454 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
6 simpr 458 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
81, 7, 2op01dm 32401 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
98simprd 460 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( glb `  K
) )
109adantr 462 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  dom  ( glb `  K ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 15196 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .0.  .<_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   dom cdm 4827   ` cfv 5406   Basecbs 14157   lecple 14228   lubclub 15095   glbcglb 15096   0.cp0 15190   OPcops 32390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-glb 15128  df-p0 15192  df-oposet 32394
This theorem is referenced by:  ople0  32405  opnlen0  32406  lub0N  32407  opltn0  32408  olj01  32443  olm01  32454  leatb  32510  1cvratex  32690  llnn0  32733  lplnn0N  32764  lvoln0N  32808  dalemcea  32877  ltrnatb  33354  ltrnmw  33368  tendo0tp  34006  cdlemk39s-id  34157  dia0eldmN  34258  dib0  34382  dih0  34498  dihmeetlem18N  34542
  Copyright terms: Public domain W3C validator