Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0le Structured version   Unicode version

Theorem op0le 32927
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 24866 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0le.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
op0le.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
op0le.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
op0le  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .0.  .<_  X )

Proof of Theorem op0le
StepHypRef Expression
1 op0le.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2443 . 2  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
3 op0le.l . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 op0le.z . 2  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
5 simpl 457 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
6 simpr 461 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
81, 7, 2op01dm 32924 . . . 4  |-  ( K  e.  OP  ->  ( B  e.  dom  ( lub `  K )  /\  B  e.  dom  ( glb `  K
) ) )
98simprd 463 . . 3  |-  ( K  e.  OP  ->  B  e.  dom  ( glb `  K
) )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  dom  ( glb `  K ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10p0le 15234 1  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  .0.  .<_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   dom cdm 4861   ` cfv 5439   Basecbs 14195   lecple 14266   lubclub 15133   glbcglb 15134   0.cp0 15228   OPcops 32913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-glb 15166  df-p0 15230  df-oposet 32917
This theorem is referenced by:  ople0  32928  opnlen0  32929  lub0N  32930  opltn0  32931  olj01  32966  olm01  32977  leatb  33033  1cvratex  33213  llnn0  33256  lplnn0N  33287  lvoln0N  33331  dalemcea  33400  ltrnatb  33877  ltrnmw  33891  tendo0tp  34529  cdlemk39s-id  34680  dia0eldmN  34781  dib0  34905  dih0  35021  dihmeetlem18N  35065
  Copyright terms: Public domain W3C validator