Theorem onwf 8327

Description: The ordinals are all well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onwf	|- On C_ U. ( R1 " On )

Proof of Theorem onwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1fnon 8264	. . 3 |- R1 Fn On
2		fndm 5697	. . 3 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- dom R1 = On
4		rankonidlem 8325	. . . 4 |- ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) )
5	4	simpld 465	. . 3 |- ( x e. dom R1 -> x e. U. ( R1 " On ) )
6	5	ssriv 3448	. 2 |- dom R1 C_ U. ( R1 " On )
7	3, 6	eqsstr3i 3475	1 |- On C_ U. ( R1 " On )

Syntax hints:   = wceq 1455   e. wcel 1898   C_ wss 3416   U.cuni 4212   dom cdm 4853   "cima 4856   Oncon0 5442   Fn wfn 5596   ` cfv 5601   R1cr1 8259   rankcrnk 8260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-r1 8261  df-rank 8262

This theorem is referenced by:  dfac12r  8602  r1tskina  9233