Theorem onuninsuci 6672

Description: A limit ordinal is not a successor ordinal. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
onssi.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onuninsuci	|- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem onuninsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssi.1	. . . . . . 7 |- A e. On
2	1	onirri 5532	. . . . . 6 |- -. A e. A
3		id 22	. . . . . . . 8 |- ( A = U. A -> A = U. A )
4		df-suc 5432	. . . . . . . . . . . 12 |- suc x = ( x u. { x } )
5	4	eqeq2i 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x <-> A = ( x u. { x } ) )
6		unieq 4209	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( x u. { x } ) -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
8		uniun 4220	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. U. { x } )
9		vex 3050	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
10	9	unisn 4216	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { x } = x
11	10	uneq2i 3587	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x u. U. { x } ) = ( U. x u. x )
12	8, 11	eqtri 2475	. . . . . . . . . 10 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. x )
13	7, 12	syl6eq 2503	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> U. A = ( U. x u. x ) )
14		tron 5449	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr On
15		eleq1 2519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = suc x -> ( A e. On <-> suc x e. On ) )
16	1, 15	mpbii 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = suc x -> suc x e. On )
17		trsuc 5510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Tr On /\ suc x e. On ) -> x e. On )
18	14, 16, 17	sylancr 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x -> x e. On )
19		eloni 5436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtr 5440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Tr x )
22		df-tr 4501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr x <-> U. x C_ x )
23	21, 22	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> U. x C_ x )
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. x C_ x )
25		ssequn1 3606	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x C_ x <-> ( U. x u. x ) = x )
26	24, 25	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( U. x u. x ) = x )
27	13, 26	eqtrd 2487	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> U. A = x )
28	3, 27	sylan9eqr 2509	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A = x )
29	9	sucid 5505	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
30		eleq2 2520	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( x e. A <-> x e. suc x ) )
31	29, 30	mpbiri 237	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> x e. A )
32	31	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> x e. A )
33	28, 32	eqeltrd 2531	. . . . . 6 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A e. A )
34	2, 33	mto 180	. . . . 5 |- -. ( A = suc x /\ A = U. A )
35	34	imnani 425	. . . 4 |- ( A = suc x -> -. A = U. A )
36	35	rexlimivw 2878	. . 3 |- ( E. x e. On A = suc x -> -. A = U. A )
37		onuni 6625	. . . . 5 |- ( A e. On -> U. A e. On )
38	1, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- U. A e. On
39	1	onuniorsuci 6671	. . . . 5 |- ( A = U. A \/ A = suc U. A )
40	39	ori 377	. . . 4 |- ( -. A = U. A -> A = suc U. A )
41		suceq 5491	. . . . . 6 |- ( x = U. A -> suc x = suc U. A )
42	41	eqeq2d 2463	. . . . 5 |- ( x = U. A -> ( A = suc x <-> A = suc U. A ) )
43	42	rspcev 3152	. . . 4 |- ( ( U. A e. On /\ A = suc U. A ) -> E. x e. On A = suc x )
44	38, 40, 43	sylancr 670	. . 3 |- ( -. A = U. A -> E. x e. On A = suc x )
45	36, 44	impbii 191	. 2 |- ( E. x e. On A = suc x <-> -. A = U. A )
46	45	con2bii 334	1 |- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   E.wrex 2740   u. cun 3404   C_ wss 3406   {csn 3970   U.cuni 4201   Tr wtr 4500   Ord word 5425   Oncon0 5426   suc csuc 5428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 5429  df-on 5430  df-suc 5432

This theorem is referenced by:  orduninsuc  6675