Theorem onuninsuci 6679

Description: A limit ordinal is not a successor ordinal. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
onssi.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onuninsuci	|- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem onuninsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssi.1	. . . . . . 7 |- A e. On
2	1	onirri 5546	. . . . . 6 |- -. A e. A
3		id 23	. . . . . . . 8 |- ( A = U. A -> A = U. A )
4		df-suc 5446	. . . . . . . . . . . 12 |- suc x = ( x u. { x } )
5	4	eqeq2i 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x <-> A = ( x u. { x } ) )
6		unieq 4225	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( x u. { x } ) -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
8		uniun 4236	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. U. { x } )
9		vex 3085	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
10	9	unisn 4232	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { x } = x
11	10	uneq2i 3618	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x u. U. { x } ) = ( U. x u. x )
12	8, 11	eqtri 2452	. . . . . . . . . 10 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. x )
13	7, 12	syl6eq 2480	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> U. A = ( U. x u. x ) )
14		tron 5463	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr On
15		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = suc x -> ( A e. On <-> suc x e. On ) )
16	1, 15	mpbii 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = suc x -> suc x e. On )
17		trsuc 5524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Tr On /\ suc x e. On ) -> x e. On )
18	14, 16, 17	sylancr 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x -> x e. On )
19		eloni 5450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtr 5454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Tr x )
22		df-tr 4517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr x <-> U. x C_ x )
23	21, 22	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> U. x C_ x )
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. x C_ x )
25		ssequn1 3637	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x C_ x <-> ( U. x u. x ) = x )
26	24, 25	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( U. x u. x ) = x )
27	13, 26	eqtrd 2464	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> U. A = x )
28	3, 27	sylan9eqr 2486	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A = x )
29	9	sucid 5519	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
30		eleq2 2496	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( x e. A <-> x e. suc x ) )
31	29, 30	mpbiri 237	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> x e. A )
32	31	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> x e. A )
33	28, 32	eqeltrd 2511	. . . . . 6 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A e. A )
34	2, 33	mto 180	. . . . 5 |- -. ( A = suc x /\ A = U. A )
35	34	imnani 425	. . . 4 |- ( A = suc x -> -. A = U. A )
36	35	rexlimivw 2915	. . 3 |- ( E. x e. On A = suc x -> -. A = U. A )
37		onuni 6632	. . . . 5 |- ( A e. On -> U. A e. On )
38	1, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- U. A e. On
39	1	onuniorsuci 6678	. . . . 5 |- ( A = U. A \/ A = suc U. A )
40	39	ori 377	. . . 4 |- ( -. A = U. A -> A = suc U. A )
41		suceq 5505	. . . . . 6 |- ( x = U. A -> suc x = suc U. A )
42	41	eqeq2d 2437	. . . . 5 |- ( x = U. A -> ( A = suc x <-> A = suc U. A ) )
43	42	rspcev 3183	. . . 4 |- ( ( U. A e. On /\ A = suc U. A ) -> E. x e. On A = suc x )
44	38, 40, 43	sylancr 668	. . 3 |- ( -. A = U. A -> E. x e. On A = suc x )
45	36, 44	impbii 191	. 2 |- ( E. x e. On A = suc x <-> -. A = U. A )
46	45	con2bii 334	1 |- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   E.wrex 2777   u. cun 3435   C_ wss 3437   {csn 3997   U.cuni 4217   Tr wtr 4516   Ord word 5439   Oncon0 5440   suc csuc 5442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-ord 5443  df-on 5444  df-suc 5446

This theorem is referenced by:  orduninsuc  6682