Theorem onuninsuci 6574

Description: A limit ordinal is not a successor ordinal. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
onssi.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onuninsuci	|- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem onuninsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssi.1	. . . . . . 7 |- A e. On
2	1	onirri 4898	. . . . . 6 |- -. A e. A
3		id 22	. . . . . . . 8 |- ( A = U. A -> A = U. A )
4		df-suc 4798	. . . . . . . . . . . 12 |- suc x = ( x u. { x } )
5	4	eqeq2i 2400	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x <-> A = ( x u. { x } ) )
6		unieq 4171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( x u. { x } ) -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
7	5, 6	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
8		uniun 4182	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. U. { x } )
9		vex 3037	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
10	9	unisn 4178	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { x } = x
11	10	uneq2i 3569	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x u. U. { x } ) = ( U. x u. x )
12	8, 11	eqtri 2411	. . . . . . . . . 10 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. x )
13	7, 12	syl6eq 2439	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> U. A = ( U. x u. x ) )
14		tron 4815	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr On
15		eleq1 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = suc x -> ( A e. On <-> suc x e. On ) )
16	1, 15	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = suc x -> suc x e. On )
17		trsuc 4876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Tr On /\ suc x e. On ) -> x e. On )
18	14, 16, 17	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x -> x e. On )
19		eloni 4802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtr 4806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Tr x )
22		df-tr 4461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr x <-> U. x C_ x )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> U. x C_ x )
24	18, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. x C_ x )
25		ssequn1 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x C_ x <-> ( U. x u. x ) = x )
26	24, 25	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( U. x u. x ) = x )
27	13, 26	eqtrd 2423	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> U. A = x )
28	3, 27	sylan9eqr 2445	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A = x )
29	9	sucid 4871	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
30		eleq2 2455	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( x e. A <-> x e. suc x ) )
31	29, 30	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> x e. A )
32	31	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> x e. A )
33	28, 32	eqeltrd 2470	. . . . . 6 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A e. A )
34	2, 33	mto 176	. . . . 5 |- -. ( A = suc x /\ A = U. A )
35	34	imnani 421	. . . 4 |- ( A = suc x -> -. A = U. A )
36	35	rexlimivw 2871	. . 3 |- ( E. x e. On A = suc x -> -. A = U. A )
37		onuni 6527	. . . . 5 |- ( A e. On -> U. A e. On )
38	1, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- U. A e. On
39	1	onuniorsuci 6573	. . . . 5 |- ( A = U. A \/ A = suc U. A )
40	39	ori 373	. . . 4 |- ( -. A = U. A -> A = suc U. A )
41		suceq 4857	. . . . . 6 |- ( x = U. A -> suc x = suc U. A )
42	41	eqeq2d 2396	. . . . 5 |- ( x = U. A -> ( A = suc x <-> A = suc U. A ) )
43	42	rspcev 3135	. . . 4 |- ( ( U. A e. On /\ A = suc U. A ) -> E. x e. On A = suc x )
44	38, 40, 43	sylancr 661	. . 3 |- ( -. A = U. A -> E. x e. On A = suc x )
45	36, 44	impbii 188	. 2 |- ( E. x e. On A = suc x <-> -. A = U. A )
46	45	con2bii 330	1 |- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   E.wrex 2733   u. cun 3387   C_ wss 3389   {csn 3944   U.cuni 4163   Tr wtr 4460   Ord word 4791   Oncon0 4792   suc csuc 4794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-suc 4798

This theorem is referenced by:  orduninsuc  6577