Theorem onuninsuci 6659

Description: A limit ordinal is not a successor ordinal. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
onssi.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onuninsuci	|- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem onuninsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssi.1	. . . . . . 7 |- A e. On
2	1	onirri 4984	. . . . . 6 |- -. A e. A
3		id 22	. . . . . . . 8 |- ( A = U. A -> A = U. A )
4		df-suc 4884	. . . . . . . . . . . 12 |- suc x = ( x u. { x } )
5	4	eqeq2i 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x <-> A = ( x u. { x } ) )
6		unieq 4253	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( x u. { x } ) -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
7	5, 6	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
8		uniun 4264	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. U. { x } )
9		vex 3116	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
10	9	unisn 4260	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { x } = x
11	10	uneq2i 3655	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x u. U. { x } ) = ( U. x u. x )
12	8, 11	eqtri 2496	. . . . . . . . . 10 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. x )
13	7, 12	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> U. A = ( U. x u. x ) )
14		tron 4901	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr On
15		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = suc x -> ( A e. On <-> suc x e. On ) )
16	1, 15	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = suc x -> suc x e. On )
17		trsuc 4962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Tr On /\ suc x e. On ) -> x e. On )
18	14, 16, 17	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x -> x e. On )
19		eloni 4888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtr 4892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Tr x )
22		df-tr 4541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr x <-> U. x C_ x )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> U. x C_ x )
24	18, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. x C_ x )
25		ssequn1 3674	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x C_ x <-> ( U. x u. x ) = x )
26	24, 25	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( U. x u. x ) = x )
27	13, 26	eqtrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> U. A = x )
28	3, 27	sylan9eqr 2530	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A = x )
29	9	sucid 4957	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
30		eleq2 2540	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( x e. A <-> x e. suc x ) )
31	29, 30	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> x e. A )
32	31	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> x e. A )
33	28, 32	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A e. A )
34	2, 33	mto 176	. . . . 5 |- -. ( A = suc x /\ A = U. A )
35	34	imnani 423	. . . 4 |- ( A = suc x -> -. A = U. A )
36	35	rexlimivw 2952	. . 3 |- ( E. x e. On A = suc x -> -. A = U. A )
37		onuni 6612	. . . . 5 |- ( A e. On -> U. A e. On )
38	1, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- U. A e. On
39	1	onuniorsuci 6658	. . . . 5 |- ( A = U. A \/ A = suc U. A )
40	39	ori 375	. . . 4 |- ( -. A = U. A -> A = suc U. A )
41		suceq 4943	. . . . . 6 |- ( x = U. A -> suc x = suc U. A )
42	41	eqeq2d 2481	. . . . 5 |- ( x = U. A -> ( A = suc x <-> A = suc U. A ) )
43	42	rspcev 3214	. . . 4 |- ( ( U. A e. On /\ A = suc U. A ) -> E. x e. On A = suc x )
44	38, 40, 43	sylancr 663	. . 3 |- ( -. A = U. A -> E. x e. On A = suc x )
45	36, 44	impbii 188	. 2 |- ( E. x e. On A = suc x <-> -. A = U. A )
46	45	con2bii 332	1 |- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   u. cun 3474   C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   Tr wtr 4540   Ord word 4877   Oncon0 4878   suc csuc 4880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884

This theorem is referenced by:  orduninsuc  6662