Theorem onuninsuci 6450

Description: A limit ordinal is not a successor ordinal. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
onssi.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onuninsuci	|- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem onuninsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssi.1	. . . . . . 7 |- A e. On
2	1	onirri 4821	. . . . . 6 |- -. A e. A
3		id 22	. . . . . . . 8 |- ( A = U. A -> A = U. A )
4		df-suc 4721	. . . . . . . . . . . 12 |- suc x = ( x u. { x } )
5	4	eqeq2i 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x <-> A = ( x u. { x } ) )
6		unieq 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = ( x u. { x } ) -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
7	5, 6	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. A = U. ( x u. { x } ) )
8		uniun 4107	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. U. { x } )
9		vex 2973	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
10	9	unisn 4103	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { x } = x
11	10	uneq2i 3504	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. x u. U. { x } ) = ( U. x u. x )
12	8, 11	eqtri 2461	. . . . . . . . . 10 |- U. ( x u. { x } ) = ( U. x u. x )
13	7, 12	syl6eq 2489	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> U. A = ( U. x u. x ) )
14		tron 4738	. . . . . . . . . . . 12 |- Tr On
15		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = suc x -> ( A e. On <-> suc x e. On ) )
16	1, 15	mpbii 211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = suc x -> suc x e. On )
17		trsuc 4799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Tr On /\ suc x e. On ) -> x e. On )
18	14, 16, 17	sylancr 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = suc x -> x e. On )
19		eloni 4725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtr 4729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> Tr x )
22		df-tr 4383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr x <-> U. x C_ x )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> U. x C_ x )
24	18, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A = suc x -> U. x C_ x )
25		ssequn1 3523	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x C_ x <-> ( U. x u. x ) = x )
26	24, 25	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( U. x u. x ) = x )
27	13, 26	eqtrd 2473	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> U. A = x )
28	3, 27	sylan9eqr 2495	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A = x )
29	9	sucid 4794	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
30		eleq2 2502	. . . . . . . . 9 |- ( A = suc x -> ( x e. A <-> x e. suc x ) )
31	29, 30	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( A = suc x -> x e. A )
32	31	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> x e. A )
33	28, 32	eqeltrd 2515	. . . . . 6 |- ( ( A = suc x /\ A = U. A ) -> A e. A )
34	2, 33	mto 176	. . . . 5 |- -. ( A = suc x /\ A = U. A )
35	34	imnani 423	. . . 4 |- ( A = suc x -> -. A = U. A )
36	35	rexlimivw 2835	. . 3 |- ( E. x e. On A = suc x -> -. A = U. A )
37		onuni 6403	. . . . 5 |- ( A e. On -> U. A e. On )
38	1, 37	ax-mp 5	. . . 4 |- U. A e. On
39	1	onuniorsuci 6449	. . . . 5 |- ( A = U. A \/ A = suc U. A )
40	39	ori 375	. . . 4 |- ( -. A = U. A -> A = suc U. A )
41		suceq 4780	. . . . . 6 |- ( x = U. A -> suc x = suc U. A )
42	41	eqeq2d 2452	. . . . 5 |- ( x = U. A -> ( A = suc x <-> A = suc U. A ) )
43	42	rspcev 3070	. . . 4 |- ( ( U. A e. On /\ A = suc U. A ) -> E. x e. On A = suc x )
44	38, 40, 43	sylancr 658	. . 3 |- ( -. A = U. A -> E. x e. On A = suc x )
45	36, 44	impbii 188	. 2 |- ( E. x e. On A = suc x <-> -. A = U. A )
46	45	con2bii 332	1 |- ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   E.wrex 2714   u. cun 3323   C_ wss 3325   {csn 3874   U.cuni 4088   Tr wtr 4382   Ord word 4714   Oncon0 4715   suc csuc 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-suc 4721

This theorem is referenced by:  orduninsuc  6453