Theorem ontr2 3711

Description: Transitive law for ordinal numbers. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
ontr2	|- ((A e. On /\ C e. On) -> ((A C_ B /\ B e. C) -> A e. C))

Proof of Theorem ontr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr2 3708	. 2 |- ((Ord A /\ Ord C) -> ((A C_ B /\ B e. C) -> A e. C))
2		eloni 3667	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3		eloni 3667	. 2 |- (C e. On -> Ord C)
4	1, 2, 3	syl2an 503	1 |- ((A e. On /\ C e. On) -> ((A C_ B /\ B e. C) -> A e. C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  oeordsuc 5269  rankxplim 5823  omsubindss 5888  alephle 6032  axfelem5 14035  omsubindssOLD 15397  smoge 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain