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Theorem ontgval 29470
Description: The topology generated from an ordinal number  B is  suc  U. B. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ontgval  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )

Proof of Theorem ontgval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inex1g 4590 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x )  e.  _V )
2 onss 6604 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
3 ssinss1 3726 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  On )
5 ssonuni 6600 . . . . . . 7  |-  ( ( B  i^i  ~P x
)  e.  _V  ->  ( ( B  i^i  ~P x )  C_  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
61, 4, 5sylc 60 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On )
7 eltg4i 19225 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  =  U. ( B  i^i  ~P x ) )
8 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( x  e.  On  <->  U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On ) )
98biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  e.  On  ->  x  e.  On ) )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x
)  e.  On  ->  x  e.  On ) )
116, 10syl5com 30 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  On ) )
12 onuni 6606 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  On )
13 suceloni 6626 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  suc  U. B  e.  On )
1511, 14jctird 544 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On ) ) )
16 tg1 19229 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( topGen `  B
)  ->  x  C_  U. B
)
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  C_ 
U. B ) )
18 sucidg 4956 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
1912, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  suc  U. B )
2017, 19jctird 544 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B ) ) )
21 ontr2 4925 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  suc  U. B  e.  On )  ->  ( ( x 
C_  U. B  /\  U. B  e.  suc  U. B
)  ->  x  e.  suc  U. B ) )
2215, 20, 21syl6c 64 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  ->  x  e.  suc  U. B ) )
23 elsuci 4944 . . . 4  |-  ( x  e.  suc  U. B  ->  ( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B ) )
24 eloni 4888 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
25 orduniss 4972 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  U. B  C_  B )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  B )
27 bastg 19231 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
2826, 27sstrd 3514 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  C_  ( topGen `  B )
)
2928sseld 3503 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
30 ssid 3523 . . . . . . 7  |-  B  C_  B
31 eltg3i 19226 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  On  /\  B  C_  B )  ->  U. B  e.  ( topGen `
 B ) )
3230, 31mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  U. B  e.  ( topGen `  B )
)
33 eleq1a 2550 . . . . . 6  |-  ( U. B  e.  ( topGen `  B )  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  =  U. B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
3529, 34jaod 380 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  (
( x  e.  U. B  \/  x  =  U. B )  ->  x  e.  ( topGen `  B )
) )
3623, 35syl5 32 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  suc  U. B  ->  x  e.  (
topGen `  B ) ) )
3722, 36impbid 191 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  e.  suc  U. B ) )
3837eqrdv 2464 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( topGen `
 B )  =  suc  U. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   Ord word 4877   Oncon0 4878   suc csuc 4880   ` cfv 5586   topGenctg 14686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-topgen 14692
This theorem is referenced by:  ontgsucval  29471
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