Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsuctopon Structured version   Unicode version

Theorem onsuctopon 30666
Description: One of the topologies on an ordinal number is its successor. (Contributed by Chen-Pang He, 7-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuctopon  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )

Proof of Theorem onsuctopon
StepHypRef Expression
1 onsuctop 30665 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Top )
2 eloni 5420 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
3 ordunisuc 6650 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  U. suc  A  =  A )
43eqcomd 2410 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  A  =  U. suc  A )
52, 4syl 17 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A  =  U. suc  A )
6 istopon 19718 . 2  |-  ( suc 
A  e.  (TopOn `  A )  <->  ( suc  A  e.  Top  /\  A  =  U. suc  A ) )
71, 5, 6sylanbrc 662 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   U.cuni 4191   Ord word 5409   Oncon0 5410   suc csuc 5412   ` cfv 5569   Topctop 19686  TopOnctopon 19687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-ord 5413  df-on 5414  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-topgen 15058  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694
This theorem is referenced by:  onsuct0  30673
  Copyright terms: Public domain W3C validator