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Theorem onsuct0 28287
Description: A successor ordinal number is a T0 space. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuct0  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )

Proof of Theorem onsuct0
Dummy variables  o  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4729 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 df-ral 2720 . . . . . 6  |-  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o
( o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
3 ordelon 4743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
4 ordelon 4743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
53, 4anim12dan 833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )
6 ordsuc 6425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
7 ordelon 4743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  o  e.  suc  A )  ->  o  e.  On )
87ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( o  e.  suc  A  -> 
o  e.  On ) )
96, 8sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
109adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
11 notbi 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o ) )
12 ontri1 4753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  -.  x  e.  o ) )
13 onsssuc 4806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  o  e.  suc  x ) )
1412, 13bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
1514adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
16 ontri1 4753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  -.  y  e.  o ) )
17 onsssuc 4806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  o  e.  suc  y ) )
1816, 17bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
1918adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
2015, 19bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <-> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
2120ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2211, 21syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2322biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
245, 10, 23syl6an 545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
2524a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
26 ordelss 4735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
27 ordelord 4741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
28 ordsucsssuc 6434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  A )  ->  ( x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  x )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3027, 29syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3126, 30mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  C_  suc  A )
3231ssneld 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
3332adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
34 ordelss 4735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  A )
35 ordelord 4741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  Ord  y )
36 ordsucsssuc 6434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  A )  ->  ( y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3736ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  y )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3835, 37syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3934, 38mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  suc  y  C_  suc  A )
4039ssneld 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4140adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4233, 41jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( -.  o  e. 
suc  x  /\  -.  o  e.  suc  y ) ) )
43 pm5.21 854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  o  e.  suc  x  /\  -.  o  e. 
suc  y )  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )
4442, 43syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
45 idd 24 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4644, 45jad 162 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4725, 46syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4847alimdv 1675 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
492, 48syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
50 dfcleq 2437 . . . . . . 7  |-  ( suc  x  =  suc  y  <->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) )
51 suc11 4822 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( suc  x  =  suc  y  <->  x  =  y ) )
5250, 51syl5bbr 259 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A. o ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <-> 
x  =  y ) )
535, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <->  x  =  y ) )
5449, 53sylibd 214 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
5554ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
561, 55syl 16 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
57 onsuctopon 28280 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )
58 ist0-2 18948 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  (TopOn `  A )  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
5957, 58syl 16 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6056, 59mpbird 232 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    C_ wss 3328   Ord word 4718   Oncon0 4719   suc csuc 4721   ` cfv 5418  TopOnctopon 18499   Kol2ct0 18910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-t0 18917
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