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Theorem onsuct0 30927
Description: A successor ordinal number is a T0 space. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsuct0  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )

Proof of Theorem onsuct0
Dummy variables  o  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 5443 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 df-ral 2778 . . . . . 6  |-  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o
( o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
3 ordelon 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
4 ordelon 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
53, 4anim12dan 845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )
6 ordsuc 6646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
7 ordelon 5457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  o  e.  suc  A )  ->  o  e.  On )
87ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord 
suc  A  ->  ( o  e.  suc  A  -> 
o  e.  On ) )
96, 8sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
109adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  o  e.  On ) )
11 notbi 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o ) )
12 ontri1 5467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  -.  x  e.  o ) )
13 onsssuc 5520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( o  C_  x  <->  o  e.  suc  x ) )
1412, 13bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
1514adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  x  e.  o  <->  o  e.  suc  x ) )
16 ontri1 5467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  -.  y  e.  o ) )
17 onsssuc 5520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( o  C_  y  <->  o  e.  suc  y ) )
1816, 17bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
1918adantrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o  e.  suc  y ) )
2015, 19bibi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( o  e.  On  /\  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <-> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
2120ancoms 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( -.  x  e.  o  <->  -.  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2211, 21syl5bb 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
2322biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  o  e.  On )  ->  ( ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
245, 10, 23syl6an 547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
2524a2d 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  A  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) ) )
26 ordelss 5449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
27 ordelord 5455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
28 ordsucsssuc 6655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  A )  ->  ( x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
2928ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  x )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3027, 29syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  (
x  C_  A  <->  suc  x  C_  suc  A ) )
3126, 30mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  suc  x  C_  suc  A )
3231ssneld 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
3332adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  x ) )
34 ordelss 5449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  A )
35 ordelord 5455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  Ord  y )
36 ordsucsssuc 6655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  A )  ->  ( y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3736ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  y )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3835, 37syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  C_  A  <->  suc  y  C_  suc  A ) )
3934, 38mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  suc  y  C_  suc  A )
4039ssneld 3463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  A  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4140adantrl 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  ->  -.  o  e.  suc  y ) )
4233, 41jcad 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( -.  o  e. 
suc  x  /\  -.  o  e.  suc  y ) ) )
43 pm5.21 866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  o  e.  suc  x  /\  -.  o  e. 
suc  y )  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )
4442, 43syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( -.  o  e.  suc  A  -> 
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
45 idd 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  ->  ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4644, 45jad 165 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) )  ->  (
o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4725, 46syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
o  e.  suc  A  ->  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o ) )  ->  ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
4847alimdv 1753 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  A  ->  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) ) )
492, 48syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  A. o
( o  e.  suc  x 
<->  o  e.  suc  y
) ) )
50 dfcleq 2413 . . . . . . 7  |-  ( suc  x  =  suc  y  <->  A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y ) )
51 suc11 5536 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( suc  x  =  suc  y  <->  x  =  y ) )
5250, 51syl5bbr 262 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A. o ( o  e.  suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <-> 
x  =  y ) )
535, 52syl 17 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o ( o  e. 
suc  x  <->  o  e.  suc  y )  <->  x  =  y ) )
5449, 53sylibd 217 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
5554ralrimivva 2844 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
561, 55syl 17 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
57 onsuctopon 30920 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  (TopOn `  A
) )
58 ist0-2 20297 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  (TopOn `  A )  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
5957, 58syl 17 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  Kol2  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( A. o  e.  suc  A ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6056, 59mpbird 235 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  Kol2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773    C_ wss 3433   Ord word 5432   Oncon0 5433   suc csuc 5435   ` cfv 5592  TopOnctopon 19855   Kol2ct0 20259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-ord 5436  df-on 5437  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fv 5600  df-topgen 15302  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-t0 20266
This theorem is referenced by:  ordtopt0  30928
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