Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmpi Structured version   Unicode version

Theorem onsucsuccmpi 29471
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsuccmpi.1  |-  A  e.  On
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmpi  |-  suc  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem onsucsuccmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucsuccmpi.1 . . . 4  |-  A  e.  On
21onsuci 6644 . . 3  |-  suc  A  e.  On
3 onsuctop 29461 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
suc  A  e.  Top )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  suc  suc  A  e.  Top
51onirri 4977 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  A
61, 1onsucssi 6647 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  A  <->  suc  A  C_  A )
75, 6mtbi 298 . . . . . 6  |-  -.  suc  A 
C_  A
8 sseq1 3518 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  ( suc  A  C_  A 
<-> 
U. y  C_  A
) )
97, 8mtbii 302 . . . . 5  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  U. y  C_  A )
10 elpwi 4012 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  y  C_  suc  A )
1110unissd 4262 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  U. suc  A )
121onunisuci 4984 . . . . . 6  |-  U. suc  A  =  A
1311, 12syl6sseq 3543 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  A
)
149, 13nsyl 121 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  y  e.  ~P suc  A )
15 eldif 3479 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  <->  ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A }
)  /\  -.  y  e.  ~P suc  A ) )
16 elpwunsn 4061 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1715, 16sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  /\  -.  y  e.  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1817ex 434 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P ( suc 
A  u.  { suc  A } )  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
19 df-suc 4877 . . . . . 6  |-  suc  suc  A  =  ( suc  A  u.  { suc  A }
)
2019pweqi 4007 . . . . 5  |-  ~P suc  suc 
A  =  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )
2118, 20eleq2s 2568 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
22 snelpwi 4685 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  { suc  A }  e.  ~P y )
23 snfi 7586 . . . . . . . 8  |-  { suc  A }  e.  Fin
2423jctr 542 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin )
)
25 elin 3680 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin ) )
2624, 25sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
272elexi 3116 . . . . . . . 8  |-  suc  A  e.  _V
2827unisn 4253 . . . . . . 7  |-  U. { suc  A }  =  suc  A
2928eqcomi 2473 . . . . . 6  |-  suc  A  =  U. { suc  A }
30 unieq 4246 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  U. z  =  U. { suc  A } )
3130eqeq2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  ( suc  A  =  U. z  <->  suc  A  = 
U. { suc  A } ) )
3231rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  suc  A  =  U. { suc  A } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3326, 29, 32sylancl 662 . . . . 5  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3422, 33syl 16 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z
)
3514, 21, 34syl56 34 . . 3  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z ) )
3635rgen 2817 . 2  |-  A. y  e.  ~P  suc  suc  A
( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
372onunisuci 4984 . . . 4  |-  U. suc  suc 
A  =  suc  A
3837eqcomi 2473 . . 3  |-  suc  A  =  U. suc  suc  A
3938iscmp 19647 . 2  |-  ( suc 
suc  A  e.  Comp  <->  ( suc  suc  A  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  suc  suc  A ( suc 
A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z ) ) )
404, 36, 39mpbir2an 913 1  |-  suc  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3466    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   U.cuni 4238   Oncon0 4871   suc csuc 4873   Fincfn 7506   Topctop 19154   Compccmp 19645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1o 7120  df-en 7507  df-fin 7510  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-cmp 19646
This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  29472
  Copyright terms: Public domain W3C validator