Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmpi Structured version   Unicode version

Theorem onsucsuccmpi 31096
 Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsuccmpi.1
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmpi

Proof of Theorem onsucsuccmpi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucsuccmpi.1 . . . 4
21onsuci 6676 . . 3
3 onsuctop 31086 . . 3
42, 3ax-mp 5 . 2
51onirri 5545 . . . . . . 7
61, 1onsucssi 6679 . . . . . . 7
75, 6mtbi 299 . . . . . 6
8 sseq1 3485 . . . . . 6
97, 8mtbii 303 . . . . 5
10 elpwi 3988 . . . . . . 7
1110unissd 4240 . . . . . 6
121onunisuci 5552 . . . . . 6
1311, 12syl6sseq 3510 . . . . 5
149, 13nsyl 124 . . . 4
15 eldif 3446 . . . . . . 7
16 elpwunsn 4037 . . . . . . 7
1715, 16sylbir 216 . . . . . 6
1817ex 435 . . . . 5
19 df-suc 5445 . . . . . 6
2019pweqi 3983 . . . . 5
2118, 20eleq2s 2530 . . . 4
22 snelpwi 4663 . . . . 5
23 snfi 7654 . . . . . . . 8
2423jctr 544 . . . . . . 7
25 elin 3649 . . . . . . 7
2624, 25sylibr 215 . . . . . 6
272elexi 3091 . . . . . . . 8
2827unisn 4231 . . . . . . 7
2928eqcomi 2435 . . . . . 6
30 unieq 4224 . . . . . . . 8
3130eqeq2d 2436 . . . . . . 7
3231rspcev 3182 . . . . . 6
3326, 29, 32sylancl 666 . . . . 5
3422, 33syl 17 . . . 4
3514, 21, 34syl56 35 . . 3
3635rgen 2785 . 2
372onunisuci 5552 . . . 4
3837eqcomi 2435 . . 3
3938iscmp 20390 . 2
404, 36, 39mpbir2an 928 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776   cdif 3433   cun 3434   cin 3435   wss 3436  cpw 3979  csn 3996  cuni 4216  con0 5439   csuc 5441  cfn 7574  ctop 19904  ccmp 20388 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-om 6704  df-1o 7187  df-en 7575  df-fin 7578  df-topgen 15330  df-top 19908  df-bases 19909  df-cmp 20389 This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  31097
 Copyright terms: Public domain W3C validator