Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmpi Structured version   Unicode version

Theorem onsucsuccmpi 31096
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
onsucsuccmpi.1  |-  A  e.  On
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmpi  |-  suc  suc  A  e.  Comp

Proof of Theorem onsucsuccmpi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onsucsuccmpi.1 . . . 4  |-  A  e.  On
21onsuci 6676 . . 3  |-  suc  A  e.  On
3 onsuctop 31086 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
suc  A  e.  Top )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  suc  suc  A  e.  Top
51onirri 5545 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  A
61, 1onsucssi 6679 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  A  <->  suc  A  C_  A )
75, 6mtbi 299 . . . . . 6  |-  -.  suc  A 
C_  A
8 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  ( suc  A  C_  A 
<-> 
U. y  C_  A
) )
97, 8mtbii 303 . . . . 5  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  U. y  C_  A )
10 elpwi 3988 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  y  C_  suc  A )
1110unissd 4240 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  U. suc  A )
121onunisuci 5552 . . . . . 6  |-  U. suc  A  =  A
1311, 12syl6sseq 3510 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P suc  A  ->  U. y  C_  A
)
149, 13nsyl 124 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  U. y  ->  -.  y  e.  ~P suc  A )
15 eldif 3446 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  <->  ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A }
)  /\  -.  y  e.  ~P suc  A ) )
16 elpwunsn 4037 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  \  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1715, 16sylbir 216 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )  /\  -.  y  e.  ~P suc  A )  ->  suc  A  e.  y )
1817ex 435 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~P ( suc 
A  u.  { suc  A } )  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
19 df-suc 5445 . . . . . 6  |-  suc  suc  A  =  ( suc  A  u.  { suc  A }
)
2019pweqi 3983 . . . . 5  |-  ~P suc  suc 
A  =  ~P ( suc  A  u.  { suc  A } )
2118, 20eleq2s 2530 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( -.  y  e.  ~P suc  A  ->  suc  A  e.  y ) )
22 snelpwi 4663 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  { suc  A }  e.  ~P y )
23 snfi 7654 . . . . . . . 8  |-  { suc  A }  e.  Fin
2423jctr 544 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin )
)
25 elin 3649 . . . . . . 7  |-  ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  ( { suc  A }  e.  ~P y  /\  { suc  A }  e.  Fin ) )
2624, 25sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
272elexi 3091 . . . . . . . 8  |-  suc  A  e.  _V
2827unisn 4231 . . . . . . 7  |-  U. { suc  A }  =  suc  A
2928eqcomi 2435 . . . . . 6  |-  suc  A  =  U. { suc  A }
30 unieq 4224 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  U. z  =  U. { suc  A } )
3130eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { suc  A }  ->  ( suc  A  =  U. z  <->  suc  A  = 
U. { suc  A } ) )
3231rspcev 3182 . . . . . 6  |-  ( ( { suc  A }  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  suc  A  =  U. { suc  A } )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3326, 29, 32sylancl 666 . . . . 5  |-  ( { suc  A }  e.  ~P y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
3422, 33syl 17 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z
)
3514, 21, 34syl56 35 . . 3  |-  ( y  e.  ~P suc  suc  A  ->  ( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z ) )
3635rgen 2785 . 2  |-  A. y  e.  ~P  suc  suc  A
( suc  A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) suc  A  =  U. z )
372onunisuci 5552 . . . 4  |-  U. suc  suc 
A  =  suc  A
3837eqcomi 2435 . . 3  |-  suc  A  =  U. suc  suc  A
3938iscmp 20390 . 2  |-  ( suc 
suc  A  e.  Comp  <->  ( suc  suc  A  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  suc  suc  A ( suc 
A  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) suc  A  =  U. z ) ) )
404, 36, 39mpbir2an 928 1  |-  suc  suc  A  e.  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   Oncon0 5439   suc csuc 5441   Fincfn 7574   Topctop 19904   Compccmp 20388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-om 6704  df-1o 7187  df-en 7575  df-fin 7578  df-topgen 15330  df-top 19908  df-bases 19909  df-cmp 20389
This theorem is referenced by:  onsucsuccmp  31097
  Copyright terms: Public domain W3C validator