Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmp Structured version   Unicode version

Theorem onsucsuccmp 28429
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmp  |-  ( A  e.  On  ->  suc  suc 
A  e.  Comp )

Proof of Theorem onsucsuccmp
StepHypRef Expression
1 suceq 4887 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
2 suceq 4887 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  suc  A  =  suc  suc 
if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  suc 
A  =  suc  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
43eleq1d 2521 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  ( suc  suc  A  e.  Comp  <->  suc  suc 
if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  Comp )
)
5 0elon 4875 . . . 4  |-  (/)  e.  On
65elimel 3955 . . 3  |-  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  On
76onsucsuccmpi 28428 . 2  |-  suc  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e. 
Comp
84, 7dedth 3944 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  suc 
A  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3740   ifcif 3894   Oncon0 4822   suc csuc 4824   Compccmp 19116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-1o 7025  df-en 7416  df-fin 7419  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-cmp 19117
This theorem is referenced by:  ordcmp  28432
  Copyright terms: Public domain W3C validator