Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onsucsuccmp Structured version   Unicode version

Theorem onsucsuccmp 30663
Description: The successor of a successor ordinal number is a compact topology. (Contributed by Chen-Pang He, 18-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onsucsuccmp  |-  ( A  e.  On  ->  suc  suc 
A  e.  Comp )

Proof of Theorem onsucsuccmp
StepHypRef Expression
1 suceq 5474 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
2 suceq 5474 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  suc  A  =  suc  suc 
if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  suc  suc 
A  =  suc  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) ) )
43eleq1d 2471 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  ->  ( suc  suc  A  e.  Comp  <->  suc  suc 
if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  Comp )
)
5 0elon 5462 . . . 4  |-  (/)  e.  On
65elimel 3946 . . 3  |-  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e.  On
76onsucsuccmpi 30662 . 2  |-  suc  suc  if ( A  e.  On ,  A ,  (/) )  e. 
Comp
84, 7dedth 3935 1  |-  ( A  e.  On  ->  suc  suc 
A  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   (/)c0 3737   ifcif 3884   Oncon0 5409   suc csuc 5411   Compccmp 20177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-1o 7166  df-en 7554  df-fin 7557  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-cmp 20178
This theorem is referenced by:  ordcmp  30666
  Copyright terms: Public domain W3C validator