Theorem onsuccon 30108

Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuccon	|- ( A e. On -> suc A e. Con )

Proof of Theorem onsuccon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4952	. . 3 |- ( A = if ( A e. On , A , (/) ) -> suc A = suc if ( A e. On , A , (/) ) )
2	1	eleq1d 2526	. 2 |- ( A = if ( A e. On , A , (/) ) -> ( suc A e. Con <-> suc if ( A e. On , A , (/) ) e. Con ) )
3		0elon 4940	. . . 4 |- (/) e. On
4	3	elimel 4007	. . 3 |- if ( A e. On , A , (/) ) e. On
5	4	onsucconi 30107	. 2 |- suc if ( A e. On , A , (/) ) e. Con
6	2, 5	dedth 3996	1 |- ( A e. On -> suc A e. Con )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   (/)c0 3793   ifcif 3944   Oncon0 4887   suc csuc 4889   Conccon 20038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-fv 5602  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-cld 19647  df-con 20039

This theorem is referenced by:  ordtopcon  30109