Theorem onsuccon 29480

Description: A successor ordinal number is a connected topology. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuccon	|- ( A e. On -> suc A e. Con )

Proof of Theorem onsuccon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4943	. . 3 |- ( A = if ( A e. On , A , (/) ) -> suc A = suc if ( A e. On , A , (/) ) )
2	1	eleq1d 2536	. 2 |- ( A = if ( A e. On , A , (/) ) -> ( suc A e. Con <-> suc if ( A e. On , A , (/) ) e. Con ) )
3		0elon 4931	. . . 4 |- (/) e. On
4	3	elimel 4002	. . 3 |- if ( A e. On , A , (/) ) e. On
5	4	onsucconi 29479	. 2 |- suc if ( A e. On , A , (/) ) e. Con
6	2, 5	dedth 3991	1 |- ( A e. On -> suc A e. Con )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   (/)c0 3785   ifcif 3939   Oncon0 4878   suc csuc 4880   Conccon 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-fv 5594  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-cld 19286  df-con 19679

This theorem is referenced by:  ordtopcon  29481