MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssnum Structured version   Unicode version

Theorem onssnum 8412
Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
onssnum  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem onssnum
StepHypRef Expression
1 uniexg 6570 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2 ssorduni 6594 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
3 elong 4875 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e.  On  <->  Ord  U. A ) )
43biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
Ord  U. A )  ->  U. A  e.  On )
51, 2, 4syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  U. A  e.  On )
6 suceloni 6621 . . 3  |-  ( U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e.  On )
7 onenon 8321 . . 3  |-  ( suc  U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e. 
dom  card )
85, 6, 73syl 20 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  suc  U. A  e.  dom  card )
9 onsucuni 6636 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  A  C_  suc  U. A )
109adantl 464 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  C_  suc  U. A
)
11 ssnum 8411 . 2  |-  ( ( suc  U. A  e. 
dom  card  /\  A  C_  suc  U. A )  ->  A  e.  dom  card )
128, 10, 11syl2anc 659 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   U.cuni 4235   Ord word 4866   Oncon0 4867   suc csuc 4869   dom cdm 4988   cardccrd 8307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-recs 7034  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-card 8311
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  8516  cfeq0  8627  cfsuc  8628  cff1  8629  cfflb  8630  cflim2  8634  cfss  8636  cfslb  8637
  Copyright terms: Public domain W3C validator