MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssnum Structured version   Unicode version

Theorem onssnum 8412
Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
onssnum  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem onssnum
StepHypRef Expression
1 uniexg 6574 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2 ssorduni 6594 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  Ord  U. A )
3 elong 4881 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e.  On  <->  Ord  U. A ) )
43biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  _V  /\ 
Ord  U. A )  ->  U. A  e.  On )
51, 2, 4syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  U. A  e.  On )
6 suceloni 6621 . . 3  |-  ( U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e.  On )
7 onenon 8321 . . 3  |-  ( suc  U. A  e.  On  ->  suc  U. A  e. 
dom  card )
85, 6, 73syl 20 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  suc  U. A  e.  dom  card )
9 onsucuni 6636 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  A  C_  suc  U. A )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  C_  suc  U. A
)
11 ssnum 8411 . 2  |-  ( ( suc  U. A  e. 
dom  card  /\  A  C_  suc  U. A )  ->  A  e.  dom  card )
128, 10, 11syl2anc 661 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  C_  On )  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   U.cuni 4240   Ord word 4872   Oncon0 4873   suc csuc 4875   dom cdm 4994   cardccrd 8307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-recs 7034  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-card 8311
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  8516  cfeq0  8627  cfsuc  8628  cff1  8629  cfflb  8630  cflim2  8634  cfss  8636  cfslb  8637
  Copyright terms: Public domain W3C validator