Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onpsstopbas Structured version   Unicode version

Theorem onpsstopbas 30916
Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onpsstopbas  |-  On  C.  TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas
StepHypRef Expression
1 onsstopbas 30915 . 2  |-  On  C_  TopBases
2 indistop 19954 . . . 4  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  Top
3 topbas 19925 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  Top  ->  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  TopBases )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  { (/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases
5 snex 4654 . . . . . 6  |-  { { (/)
} }  e.  _V
65prid2 4103 . . . . 5  |-  { { (/)
} }  e.  { (/)
,  { { (/) } } }
7 snsn0non 5551 . . . . 5  |-  -.  { { (/) } }  e.  On
8 mth8 149 . . . . 5  |-  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  ( -.  { { (/) } }  e.  On  ->  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On ) ) )
96, 7, 8mp2 9 . . . 4  |-  -.  ( { { (/) } }  e.  {
(/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/)
} }  e.  On )
10 onelon 5458 . . . . 5  |-  ( ( { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On  /\  { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } } )  ->  { { (/)
} }  e.  On )
1110ex 435 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  On  ->  ( { { (/) } }  e.  { (/) ,  { { (/) } } }  ->  { { (/) } }  e.  On ) )
129, 11mto 179 . . 3  |-  -.  { (/)
,  { { (/) } } }  e.  On
134, 12pm3.2i 456 . 2  |-  ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )
14 ssnelpss 3854 . 2  |-  ( On  C_ 
TopBases  ->  ( ( {
(/) ,  { { (/) } } }  e.  TopBases  /\  -.  { (/) ,  { { (/)
} } }  e.  On )  ->  On  C.  TopBases ) )
151, 13, 14mp2 9 1  |-  On  C.  TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1867    C_ wss 3433    C. wpss 3434   (/)c0 3758   {csn 3993   {cpr 3995   Oncon0 5433   Topctop 19854   TopBasesctb 19857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-ord 5436  df-on 5437  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fv 5600  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator