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Theorem onnseq 7080
Description: There are no length  om decreasing sequences in the ordinals. See also noinfep 8179 for a stronger version assuming Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
onnseq  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  E. x  e.  om  -.  ( F `
 suc  x )  e.  ( F `  x
) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem onnseq
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 epweon 6630 . . . . . 6  |-  _E  We  On
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  _E  We  On )
3 fveq2 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
43eleq1d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  y )  e.  On  <->  ( F `  (/) )  e.  On ) )
5 fveq2 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
65eleq1d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  On  <->  ( F `  z )  e.  On ) )
7 fveq2 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  z )
)
87eleq1d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( F `  y )  e.  On  <->  ( F `  suc  z
)  e.  On ) )
9 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( F `  (/) )  e.  On )
10 suceq 5513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
1110fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  z ) )
12 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1311, 12eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  suc  x )  e.  ( F `  x )  <-> 
( F `  suc  z )  e.  ( F `  z ) ) )
1413rspcv 3184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  -> 
( F `  suc  z )  e.  ( F `  z ) ) )
15 onelon 5473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  On  /\  ( F `  suc  z
)  e.  ( F `
 z ) )  ->  ( F `  suc  z )  e.  On )
1615expcom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  suc  z
)  e.  ( F `
 z )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) )
1714, 16syl6 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  om  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) ) )
1817adantld 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  -> 
( ( F `  z )  e.  On  ->  ( F `  suc  z )  e.  On ) ) )
194, 6, 8, 9, 18finds2 6741 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  -> 
( F `  y
)  e.  On ) )
2019com12 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( y  e.  om  ->  ( F `  y )  e.  On ) )
2120ralrimiv 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  A. y  e.  om  ( F `  y )  e.  On )
22 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )
2322fmpt 6064 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  om  ( F `  y )  e.  On  <->  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On )
2421, 23sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On )
25 frn 5758 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  C_  On )
2624, 25syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) ) 
C_  On )
27 peano1 6732 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
28 fdm 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) : om --> On  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =  om )
2924, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  om )
3027, 29syl5eleqr 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  (/)  e.  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) )
31 ne0i 3773 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  dom  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/) )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  dom  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
33 dm0rn0 5076 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  (/) )
3433necon3bii 2693 . . . . . 6  |-  ( dom  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/)  <->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
3532, 34sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =/=  (/) )
36 wefrc 4853 . . . . 5  |-  ( (  _E  We  On  /\  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  C_  On  /\  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/) )
372, 26, 35, 36syl3anc 1265 . . . 4  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  E. z  e.  ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/) )
38 fvex 5897 . . . . . 6  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
3938rgenw 2788 . . . . 5  |-  A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V
40 fveq2 5887 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
4140cbvmptv 4522 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  =  ( w  e. 
om  |->  ( F `  w ) )
42 ineq2 3664 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) ) )
4342eqeq1d 2425 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) ) )
4441, 43rexrnmpt 6053 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  om  ( F `  w )  e.  _V  ->  ( E. z  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) ) ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  i^i  z )  =  (/) 
<->  E. w  e.  om  ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `  w
) )  =  (/) ) )
4539, 44ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  z )  =  (/)  <->  E. w  e.  om  ( ran  ( y  e. 
om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `  w
) )  =  (/) )
4637, 45sylib 200 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  E. w  e.  om  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
47 peano2 6733 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  om  ->  suc  w  e.  om )
4847adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  suc  w  e.  om )
49 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  w )  =  ( F `  suc  w )
50 fveq2 5887 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  w )
)
5150eqeq2d 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( F `  suc  w )  =  ( F `  y )  <-> 
( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  w
) ) )
5251rspcev 3188 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  w  e.  om  /\  ( F `  suc  w )  =  ( F `  suc  w
) )  ->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w )  =  ( F `  y ) )
5348, 49, 52sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) )
54 fvex 5897 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 suc  w )  e.  _V
5522elrnmpt 5106 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  _V  ->  ( ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  <->  E. y  e.  om  ( F `  suc  w
)  =  ( F `
 y ) )
5753, 56sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) ) )
58 suceq 5513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  suc  x  =  suc  w )
5958fveq2d 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  w ) )
60 fveq2 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
6159, 60eleq12d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  suc  x )  e.  ( F `  x )  <-> 
( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) ) )
6261rspccva 3187 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) )
6362adantll 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  ( F `  w ) )
64 inelcm 3855 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  suc  w )  e.  ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  /\  ( F `
 suc  w )  e.  ( F `  w
) )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =/=  (/) )
6557, 63, 64syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ran  ( y  e.  om  |->  ( F `
 y ) )  i^i  ( F `  w ) )  =/=  (/) )
6665neneqd 2626 . . . 4  |-  ( ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  -.  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
6766nrexdv 2883 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e.  On  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )  ->  -.  E. w  e.  om  ( ran  (
y  e.  om  |->  ( F `  y ) )  i^i  ( F `
 w ) )  =  (/) )
6846, 67pm2.65da 579 . 2  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  -.  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )
69 rexnal 2875 . 2  |-  ( E. x  e.  om  -.  ( F `  suc  x
)  e.  ( F `
 x )  <->  -.  A. x  e.  om  ( F `  suc  x )  e.  ( F `  x ) )
7068, 69sylibr 216 1  |-  ( ( F `  (/) )  e.  On  ->  E. x  e.  om  -.  ( F `
 suc  x )  e.  ( F `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1873    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3085    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767    |-> cmpt 4488    _E cep 4768    We wwe 4817   dom cdm 4859   ran crn 4860   Oncon0 5448   suc csuc 5450   -->wf 5603   ` cfv 5607   omcom 6712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-fv 5615  df-om 6713
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