Theorem onnmin 3072

Description: No member of a set of ordinal numbers belongs to its minimum.

Assertion

Ref	Expression
onnmin	|- ((A (_ On /\ B e. A) -> -. B e. |^|A)

Proof of Theorem onnmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intss1 2602	. . 3 |- (B e. A -> |^|A (_ B)
2	1	adantl 397	. 2 |- ((A (_ On /\ B e. A) -> |^|A (_ B)
3		ontri1 3038	. . 3 |- ((|^|A e. On /\ B e. On) -> (|^|A (_ B <-> -. B e. |^|A))
4		oninton 3069	. . . 4 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. On)
5		ne0i 2337	. . . 4 |- (B e. A -> A =/= (/))
6	4, 5	sylan2 462	. . 3 |- ((A (_ On /\ B e. A) -> |^|A e. On)
7		ssel2 2115	. . 3 |- ((A (_ On /\ B e. A) -> B e. On)
8	3, 6, 7	sylanc 482	. 2 |- ((A (_ On /\ B e. A) -> (|^|A (_ B <-> -. B e. |^|A))
9	2, 8	mpbid 202	1 |- ((A (_ On /\ B e. A) -> -. B e. |^|A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   e. wcel 999   =/= wne 1632   (_ wss 2098  (/)c0 2331  |^|cint 2587  Oncon0 3005

This theorem is referenced by:  onnminsb 3073  oneqmin 3075  onminex 3077  onmindif2 3118  cardmin 4925

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009

Copyright terms: Public domain