Theorem onnev 3299

Description: The class of ordinal numbers is not equal to the universe.

Assertion

Ref	Expression
onnev	|- On =/= V

Proof of Theorem onnev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 2766	. . . 4 |- (/) e. V
2		opelxpi 3274	. . . 4 |- (((/) e. V /\ (/) e. V) -> <.(/), (/)>. e. (V X. V))
3	1, 1, 2	mp2an 709	. . 3 |- <.(/), (/)>. e. (V X. V)
4		ne0i 2337	. . 3 |- (<.(/), (/)>. e. (V X. V) -> (V X. V) =/= (/))
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- (V X. V) =/= (/)
6		ineq1 2261	. . . . 5 |- (On = V -> (On i^i (V X. V)) = (V i^i (V X. V)))
7		onxpdisj 3298	. . . . 5 |- (On i^i (V X. V)) = (/)
8		incom 2259	. . . . . 6 |- (V i^i (V X. V)) = ((V X. V) i^i V)
9		inv1 2351	. . . . . 6 |- ((V X. V) i^i V) = (V X. V)
10	8, 9	eqtri 1542	. . . . 5 |- (V i^i (V X. V)) = (V X. V)
11	6, 7, 10	3eqtr3g 1577	. . . 4 |- (On = V -> (/) = (V X. V))
12	11	eqcomd 1527	. . 3 |- (On = V -> (V X. V) = (/))
13	12	necon3i 1652	. 2 |- ((V X. V) =/= (/) -> On =/= V)
14	5, 13	ax-mp 7	1 |- On =/= V

Syntax hints:   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632  Vcvv 1858   i^i cin 2097  (/)c0 2331  <.cop 2463  Oncon0 3005   X. cxp 3225

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-xp 3241

Copyright terms: Public domain