Theorem onnev 4070

Description: The class of ordinal numbers is not equal to the universe.

Assertion

Ref	Expression
onnev	|- On =/= _V

Proof of Theorem onnev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3446	. . . 4 |- (/) e. _V
2		opelxpi 4040	. . . 4 |- (((/) e. _V /\ (/) e. _V) -> <.(/), (/)>. e. (_V X. _V))
3	1, 1, 2	mp2an 761	. . 3 |- <.(/), (/)>. e. (_V X. _V)
4		ne0i 2881	. . 3 |- (<.(/), (/)>. e. (_V X. _V) -> (_V X. _V) =/= (/))
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- (_V X. _V) =/= (/)
6		ineq1 2789	. . . . 5 |- (On = _V -> (On i^i (_V X. _V)) = (_V i^i (_V X. _V)))
7		onxpdisj 4068	. . . . 5 |- (On i^i (_V X. _V)) = (/)
8		incom 2787	. . . . . 6 |- (_V i^i (_V X. _V)) = ((_V X. _V) i^i _V)
9		inv1 2898	. . . . . 6 |- ((_V X. _V) i^i _V) = (_V X. _V)
10	8, 9	eqtri 1908	. . . . 5 |- (_V i^i (_V X. _V)) = (_V X. _V)
11	6, 7, 10	3eqtr3g 1952	. . . 4 |- (On = _V -> (/) = (_V X. _V))
12	11	eqcomd 1889	. . 3 |- (On = _V -> (_V X. _V) = (/))
13	12	necon3i 2042	. 2 |- ((_V X. _V) =/= (/) -> On =/= _V)
14	5, 13	ax-mp 7	1 |- On =/= _V

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  (/)c0 2875  <.cop 3046  Oncon0 3657   X. cxp 3984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain