Theorem onintrab2 6518

Description: An existence condition equivalent to an intersection's being an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab2	|- ( E. x e. On ph <-> |^| { x e. On | ph } e. On )

Proof of Theorem onintrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexrab 4554	. 2 |- ( E. x e. On ph <-> |^| { x e. On | ph } e. _V )
2		onintrab 6517	. 2 |- ( |^| { x e. On | ph } e. _V <-> |^| { x e. On | ph } e. On )
3	1, 2	bitri 249	1 |- ( E. x e. On ph <-> |^| { x e. On | ph } e. On )

Syntax hints:   <-> wb 184   e. wcel 1758   E.wrex 2797   {crab 2800   _Vcvv 3072   |^|cint 4231   Oncon0 4822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826

This theorem is referenced by:  oeeulem  7145  cardmin2  8274  cardaleph  8365  cardmin  8834  nobndlem2  27973  nobndlem4  27975  nobndlem6  27977  nofulllem4  27985