Theorem onintrab2 6619

Description: An existence condition equivalent to an intersection's being an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab2	|- ( E. x e. On ph <-> |^| { x e. On | ph } e. On )

Proof of Theorem onintrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexrab 4552	. 2 |- ( E. x e. On ph <-> |^| { x e. On | ph } e. _V )
2		onintrab 6618	. 2 |- ( |^| { x e. On | ph } e. _V <-> |^| { x e. On | ph } e. On )
3	1, 2	bitri 249	1 |- ( E. x e. On ph <-> |^| { x e. On | ph } e. On )

Syntax hints:   <-> wb 184   e. wcel 1842   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058   |^|cint 4226   Oncon0 5409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 5412  df-on 5413

This theorem is referenced by:  oeeulem  7286  cardmin2  8410  cardaleph  8501  cardmin  8970  nobndlem2  30140  nobndlem4  30142  nobndlem6  30144  nofulllem4  30152