Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintopsscon Structured version   Unicode version

Theorem onintopsscon 30133
Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onintopsscon  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con

Proof of Theorem onintopsscon
StepHypRef Expression
1 elin 3673 . . 3  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Top ) )
2 eloni 4877 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
3 ordtopcon 30132 . . . . 5  |-  ( Ord  x  ->  ( x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  Top  <->  x  e.  Con ) )
54biimpa 482 . . 3  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  e.  Top )  ->  x  e.  Con )
61, 5sylbi 195 . 2  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Top )  ->  x  e.  Con )
76ssriv 3493 1  |-  ( On 
i^i  Top )  C_  Con
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823    i^i cin 3460    C_ wss 3461   Ord word 4866   Oncon0 4867   Topctop 19561   Conccon 20078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-fv 5578  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568  df-cld 19687  df-con 20079
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator