Theorem oninton 3881

Description: The intersection of a non-empty collection of ordinal numbers is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
oninton	|- ((A C_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. On)

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 3876	. . . 4 |- ((A C_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
2	1	ex 402	. . 3 |- (A C_ On -> (A =/= (/) -> |^|A e. A))
3		ssel 2615	. . 3 |- (A C_ On -> (|^|A e. A -> |^|A e. On))
4	2, 3	syld 30	. 2 |- (A C_ On -> (A =/= (/) -> |^|A e. On))
5	4	imp 377	1 |- ((A C_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593  (/)c0 2875  |^|cint 3214  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  onintrab 3882  onnmin 3884  onminex 3888  onmindif2 3893  iinon 5115  oawordeulem 5236  tz9.12lem1 5770  rankon 5782  oncardval 5865  oncardon 5866  cardon 5976  sltval2 13997  axdenselem4 14022  nocvxminlem 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain