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Theorem onint1 28209
Description: The ordinal T1 spaces are 
1o and  2o, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onint1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }

Proof of Theorem onint1
Dummy variables  j 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3536 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  <->  ( j  e.  On  /\  j  e. 
Fre ) )
2 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  U. j  =  U. j
32ist1 18825 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Fre  <->  ( j  e.  Top  /\  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) ) )
43simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Fre  ->  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) )
5 onelon 4740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  On  /\  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On )
65ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  On  ->  (
( U. j  \  { (/) } )  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On ) )
7 neldifsnd 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  (/) 
e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
8 p0ex 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { (/) }  e.  _V
98prid2 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
10 df2o2 6930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
119, 10eleqtrri 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { (/) }  e.  2o
12 elunii 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { (/) }  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  { (/) }  e.  U. j )
1311, 12mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  U. j )
14 df1o2 6928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  =  { (/) }
15 1on 6923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  e.  On
1614, 15eqeltrri 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  On
1716onirri 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  {
(/) }  e.  { (/) } )
1913, 18eldifd 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
20 ne0i 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
(/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
227, 212thd 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
23 nbbn 358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/)
} )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
25 on0eln0 4770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On  ->  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
2624, 25nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On )
276, 26nsyli 141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j ) )
2827imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
29 0ex 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  _V
3029prid1 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
3130, 10eleqtrri 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  2o
32 elunii 4093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
(/)  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  (/)  e.  U. j )
3331, 32mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  (/)  e.  U. j )
3433adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  (/) 
e.  U. j )
35 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  a  =  (/) )
3635sneqd 3886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  { a }  =  { (/) } )
3736eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  ( { a }  e.  ( Clsd `  j )  <->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j )
) )
3834, 37rspcdv 3073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j
) ) )
392cldopn 18535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  e.  ( Clsd `  j )  -> 
( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
4038, 39syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j ) )
4128, 40mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
)
4241ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
) )
4342con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  On  ->  ( A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  -.  2o  e.  j ) )
444, 43syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  -.  2o  e.  j ) )
45 2on 6924 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  On
46 ontri1 4749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  -.  2o  e.  j ) )
47 onsssuc 4802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  j  e.  suc  2o ) )
4846, 47bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( -.  2o  e.  j 
<->  j  e.  suc  2o ) )
4945, 48mpan2 666 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  ( -.  2o  e.  j  <->  j  e.  suc  2o ) )
5044, 49sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  j  e.  suc  2o ) )
5150imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  suc  2o )
52 0ntop 18418 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Top
53 t1top 18834 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  Fre  ->  (/)  e.  Top )
5452, 53mto 176 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  Fre
55 nelneq 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Fre  /\  -.  (/)  e.  Fre )  ->  -.  j  =  (/) )
5654, 55mpan2 666 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  =  (/) )
57 elsni 3899 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  { (/) }  ->  j  =  (/) )
5856, 57nsyl 121 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  e.  { (/) } )
5958adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  -.  j  e.  { (/)
} )
6051, 59eldifd 3336 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  ( suc 
2o  \  { (/) } ) )
611, 60sylbi 195 . . . 4  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  ->  j  e.  ( suc  2o  \  { (/)
} ) )
6261ssriv 3357 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  ( suc  2o  \  { (/) } )
63 df-suc 4721 . . . . . 6  |-  suc  2o  =  ( 2o  u.  { 2o } )
6463difeq1i 3467 . . . . 5  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o  u.  { 2o }
)  \  { (/) } )
65 difundir 3600 . . . . 5  |-  ( ( 2o  u.  { 2o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
6664, 65eqtri 2461 . . . 4  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o 
\  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/) } ) )
67 df-pr 3877 . . . . 5  |-  { 1o ,  2o }  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
68 df2o3 6929 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
69 df-pr 3877 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7068, 69eqtri 2461 . . . . . . . 8  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7170difeq1i 3467 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )
72 difundir 3600 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( { (/) }  \  { (/) } )  u.  ( { 1o }  \  { (/) } ) )
73 difid 3744 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
74 1n0 6931 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
75 disjsn2 3934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( { 1o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 1o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
7776difeq2i 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  (/) )
78 difin 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  { (/) } )
79 dif0 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  (/) )  =  { 1o }
8077, 78, 793eqtr3i 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( { 1o }  \  { (/)
} )  =  { 1o }
8173, 80uneq12i 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  ( (/)  u.  { 1o } )
82 uncom 3497 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ 1o } )  =  ( { 1o }  u.  (/) )
83 un0 3659 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  u.  (/) )  =  { 1o }
8481, 82, 833eqtri 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  { 1o }
8571, 72, 843eqtri 2465 . . . . . 6  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  { 1o }
86 2on0 6925 . . . . . . . . 9  |-  2o  =/=  (/)
87 disjsn2 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o  =/=  (/)  ->  ( { 2o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( { 2o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
8988difeq2i 3468 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  (/) )
90 difin 3584 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  { (/) } )
91 dif0 3746 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  (/) )  =  { 2o }
9289, 90, 913eqtr3i 2469 . . . . . 6  |-  ( { 2o }  \  { (/)
} )  =  { 2o }
9385, 92uneq12i 3505 . . . . 5  |-  ( ( 2o  \  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
9467, 93eqtr4i 2464 . . . 4  |-  { 1o ,  2o }  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
9566, 94eqtr4i 2464 . . 3  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  { 1o ,  2o }
9662, 95sseqtri 3385 . 2  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  { 1o ,  2o }
97 ssoninhaus 28208 . . 3  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
98 haust1 18856 . . . . 5  |-  ( j  e.  Haus  ->  j  e. 
Fre )
9998ssriv 3357 . . . 4  |-  Haus  C_  Fre
100 sslin 3573 . . . 4  |-  ( Haus  C_  Fre  ->  ( On  i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre ) )
10199, 100ax-mp 5 . . 3  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre )
10297, 101sstri 3362 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Fre )
10396, 102eqssi 3369 1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   U.cuni 4088   Oncon0 4715   suc csuc 4717   ` cfv 5415   1oc1o 6909   2oc2o 6910   Topctop 18398   Clsdccld 18520   Frect1 18811   Hauscha 18812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423  df-1o 6916  df-2o 6917  df-topgen 14378  df-top 18403  df-topon 18406  df-cld 18523  df-t1 18818  df-haus 18819
This theorem is referenced by:  oninhaus  28210
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