Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onint1 Structured version   Unicode version

Theorem onint1 28295
Description: The ordinal T1 spaces are 
1o and  2o, proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
onint1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }

Proof of Theorem onint1
Dummy variables  j 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3539 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  <->  ( j  e.  On  /\  j  e. 
Fre ) )
2 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  U. j  =  U. j
32ist1 18925 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  Fre  <->  ( j  e.  Top  /\  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) ) )
43simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  Fre  ->  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j ) )
5 onelon 4744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  On  /\  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On )
65ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  On  ->  (
( U. j  \  { (/) } )  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  On ) )
7 neldifsnd 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  (/) 
e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
8 p0ex 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { (/) }  e.  _V
98prid2 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  { (/) ,  { (/)
} }
10 df2o2 6934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
119, 10eleqtrri 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { (/) }  e.  2o
12 elunii 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { (/) }  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  { (/) }  e.  U. j )
1311, 12mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  U. j )
14 df1o2 6932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  =  { (/) }
15 1on 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1o  e.  On
1614, 15eqeltrri 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { (/) }  e.  On
1716onirri 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  {
(/) }  e.  { (/) } )
1913, 18eldifd 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2o  e.  j  ->  { (/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } ) )
20 ne0i 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
(/) }  e.  ( U. j  \  { (/) } )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )
227, 212thd 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2o  e.  j  ->  ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
23 nbbn 358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/)
} )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <-> 
( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
25 on0eln0 4774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On  ->  ( (/)  e.  ( U. j  \  { (/) } )  <->  ( U. j  \  { (/) } )  =/=  (/) ) )
2624, 25nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  On )
276, 26nsyli 141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  ( U. j  \  { (/)
} )  e.  j ) )
2827imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
29 0ex 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  _V
3029prid1 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  { (/)
,  { (/) } }
3130, 10eleqtrri 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  2o
32 elunii 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
(/)  e.  2o  /\  2o  e.  j )  ->  (/)  e.  U. j )
3331, 32mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2o  e.  j  ->  (/)  e.  U. j )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  (/) 
e.  U. j )
35 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  a  =  (/) )
3635sneqd 3889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  { a }  =  { (/) } )
3736eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  /\  a  =  (/) )  ->  ( { a }  e.  ( Clsd `  j )  <->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j )
) )
3834, 37rspcdv 3076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  { (/) }  e.  ( Clsd `  j
) ) )
392cldopn 18635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
(/) }  e.  ( Clsd `  j )  -> 
( U. j  \  { (/) } )  e.  j )
4038, 39syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  -> 
( A. a  e. 
U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  ( U. j  \  { (/) } )  e.  j ) )
4128, 40mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  j )  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
)
4241ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  On  ->  ( 2o  e.  j  ->  -.  A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )
) )
4342con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  On  ->  ( A. a  e.  U. j { a }  e.  ( Clsd `  j )  ->  -.  2o  e.  j ) )
444, 43syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  -.  2o  e.  j ) )
45 2on 6928 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  On
46 ontri1 4753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  -.  2o  e.  j ) )
47 onsssuc 4806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( j  C_  2o  <->  j  e.  suc  2o ) )
4846, 47bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  On  /\  2o  e.  On )  -> 
( -.  2o  e.  j 
<->  j  e.  suc  2o ) )
4945, 48mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  On  ->  ( -.  2o  e.  j  <->  j  e.  suc  2o ) )
5044, 49sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  On  ->  (
j  e.  Fre  ->  j  e.  suc  2o ) )
5150imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  suc  2o )
52 0ntop 18518 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Top
53 t1top 18934 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  Fre  ->  (/)  e.  Top )
5452, 53mto 176 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  Fre
55 nelneq 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  Fre  /\  -.  (/)  e.  Fre )  ->  -.  j  =  (/) )
5654, 55mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  =  (/) )
57 elsni 3902 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  { (/) }  ->  j  =  (/) )
5856, 57nsyl 121 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Fre  ->  -.  j  e.  { (/) } )
5958adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  -.  j  e.  { (/)
} )
6051, 59eldifd 3339 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  On  /\  j  e.  Fre )  ->  j  e.  ( suc 
2o  \  { (/) } ) )
611, 60sylbi 195 . . . 4  |-  ( j  e.  ( On  i^i  Fre )  ->  j  e.  ( suc  2o  \  { (/)
} ) )
6261ssriv 3360 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  ( suc  2o  \  { (/) } )
63 df-suc 4725 . . . . . 6  |-  suc  2o  =  ( 2o  u.  { 2o } )
6463difeq1i 3470 . . . . 5  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o  u.  { 2o }
)  \  { (/) } )
65 difundir 3603 . . . . 5  |-  ( ( 2o  u.  { 2o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
6664, 65eqtri 2463 . . . 4  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  ( ( 2o 
\  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/) } ) )
67 df-pr 3880 . . . . 5  |-  { 1o ,  2o }  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
68 df2o3 6933 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
69 df-pr 3880 . . . . . . . . 9  |-  { (/) ,  1o }  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7068, 69eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  2o  =  ( { (/) }  u.  { 1o } )
7170difeq1i 3470 . . . . . . 7  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  ( ( {
(/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )
72 difundir 3603 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  u.  { 1o } )  \  { (/)
} )  =  ( ( { (/) }  \  { (/) } )  u.  ( { 1o }  \  { (/) } ) )
73 difid 3747 . . . . . . . . 9  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
74 1n0 6935 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  =/=  (/)
75 disjsn2 3937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o  =/=  (/)  ->  ( { 1o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 1o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
7776difeq2i 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  (/) )
78 difin 3587 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  ( { 1o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  \  { (/) } )
79 dif0 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1o }  \  (/) )  =  { 1o }
8077, 78, 793eqtr3i 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( { 1o }  \  { (/)
} )  =  { 1o }
8173, 80uneq12i 3508 . . . . . . . 8  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  ( (/)  u.  { 1o } )
82 uncom 3500 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  u. 
{ 1o } )  =  ( { 1o }  u.  (/) )
83 un0 3662 . . . . . . . 8  |-  ( { 1o }  u.  (/) )  =  { 1o }
8481, 82, 833eqtri 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( { (/) }  \  { (/)
} )  u.  ( { 1o }  \  { (/)
} ) )  =  { 1o }
8571, 72, 843eqtri 2467 . . . . . 6  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  { 1o }
86 2on0 6929 . . . . . . . . 9  |-  2o  =/=  (/)
87 disjsn2 3937 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o  =/=  (/)  ->  ( { 2o }  i^i  { (/) } )  =  (/) )
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( { 2o }  i^i  { (/)
} )  =  (/)
8988difeq2i 3471 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  (/) )
90 difin 3587 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  ( { 2o }  i^i  { (/)
} ) )  =  ( { 2o }  \  { (/) } )
91 dif0 3749 . . . . . . 7  |-  ( { 2o }  \  (/) )  =  { 2o }
9289, 90, 913eqtr3i 2471 . . . . . 6  |-  ( { 2o }  \  { (/)
} )  =  { 2o }
9385, 92uneq12i 3508 . . . . 5  |-  ( ( 2o  \  { (/) } )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )  =  ( { 1o }  u.  { 2o } )
9467, 93eqtr4i 2466 . . . 4  |-  { 1o ,  2o }  =  ( ( 2o  \  { (/)
} )  u.  ( { 2o }  \  { (/)
} ) )
9566, 94eqtr4i 2466 . . 3  |-  ( suc 
2o  \  { (/) } )  =  { 1o ,  2o }
9662, 95sseqtri 3388 . 2  |-  ( On 
i^i  Fre )  C_  { 1o ,  2o }
97 ssoninhaus 28294 . . 3  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
98 haust1 18956 . . . . 5  |-  ( j  e.  Haus  ->  j  e. 
Fre )
9998ssriv 3360 . . . 4  |-  Haus  C_  Fre
100 sslin 3576 . . . 4  |-  ( Haus  C_  Fre  ->  ( On  i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre ) )
10199, 100ax-mp 5 . . 3  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre )
10297, 101sstri 3365 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Fre )
10396, 102eqssi 3372 1  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   {cpr 3879   U.cuni 4091   Oncon0 4719   suc csuc 4721   ` cfv 5418   1oc1o 6913   2oc2o 6914   Topctop 18498   Clsdccld 18620   Frect1 18911   Hauscha 18912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-fv 5426  df-1o 6920  df-2o 6921  df-topgen 14382  df-top 18503  df-topon 18506  df-cld 18623  df-t1 18918  df-haus 18919
This theorem is referenced by:  oninhaus  28296
  Copyright terms: Public domain W3C validator