Theorem onint0 3064

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero.

Assertion

Ref	Expression
onint0	|- (A (_ On -> (|^|A = (/) <-> (/) e. A))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 3063	. . . . 5 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
2		0ex 2766	. . . . . . 7 |- (/) e. V
3		eleq1 1581	. . . . . . 7 |- (|^|A = (/) -> (|^|A e. V <-> (/) e. V))
4	2, 3	mpbiri 201	. . . . . 6 |- (|^|A = (/) -> |^|A e. V)
5		intex 2784	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> |^|A e. V)
6	4, 5	sylibr 207	. . . . 5 |- (|^|A = (/) -> A =/= (/))
7	1, 6	sylan2 462	. . . 4 |- ((A (_ On /\ |^|A = (/)) -> |^|A e. A)
8		eleq1 1581	. . . . 5 |- (|^|A = (/) -> (|^|A e. A <-> (/) e. A))
9	8	adantl 397	. . . 4 |- ((A (_ On /\ |^|A = (/)) -> (|^|A e. A <-> (/) e. A))
10	7, 9	mpbid 202	. . 3 |- ((A (_ On /\ |^|A = (/)) -> (/) e. A)
11	10	ex 380	. 2 |- (A (_ On -> (|^|A = (/) -> (/) e. A))
12		int0el 2615	. 2 |- ((/) e. A -> |^|A = (/))
13	11, 12	impbid1 528	1 |- (A (_ On -> (|^|A = (/) <-> (/) e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632  Vcvv 1858   (_ wss 2098  (/)c0 2331  |^|cint 2587  Oncon0 3005

This theorem is referenced by:  rankeq0 4758  cfeq0 4979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009

Copyright terms: Public domain