Theorem onint0 3877

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero.

Assertion

Ref	Expression
onint0	|- (A C_ On -> (|^|A = (/) <-> (/) e. A))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 3876	. . . . 5 |- ((A C_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
2		0ex 3446	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
3		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (|^|A = (/) -> (|^|A e. _V <-> (/) e. _V))
4	2, 3	mpbiri 211	. . . . . 6 |- (|^|A = (/) -> |^|A e. _V)
5		intex 3465	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> |^|A e. _V)
6	4, 5	sylibr 217	. . . . 5 |- (|^|A = (/) -> A =/= (/))
7	1, 6	sylan2 500	. . . 4 |- ((A C_ On /\ |^|A = (/)) -> |^|A e. A)
8		eleq1 1957	. . . . 5 |- (|^|A = (/) -> (|^|A e. A <-> (/) e. A))
9	8	adantl 424	. . . 4 |- ((A C_ On /\ |^|A = (/)) -> (|^|A e. A <-> (/) e. A))
10	7, 9	mpbid 212	. . 3 |- ((A C_ On /\ |^|A = (/)) -> (/) e. A)
11	10	ex 402	. 2 |- (A C_ On -> (|^|A = (/) -> (/) e. A))
12		int0el 3248	. 2 |- ((/) e. A -> |^|A = (/))
13	11, 12	impbid1 575	1 |- (A C_ On -> (|^|A = (/) <-> (/) e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  |^|cint 3214  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  rankeq0 5807  cfeq0 6062  axfelem11 14041

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain