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Theorem onfununi 7060
Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
onfununi.1  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
onfununi.2  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
Assertion
Ref Expression
onfununi  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y    x, T
Allowed substitution hint:    T( y)

Proof of Theorem onfununi
StepHypRef Expression
1 ssorduni 6612 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  Ord  U. S )
21ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Ord  U. S
)
3 nelneq 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  -.  x  =  U. S )
4 elssuni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  S  ->  x  C_ 
U. S )
54adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  x  C_ 
U. S )
6 ssel 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  On ) )
7 eloni 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
86, 7syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  Ord  x ) )
98imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 5452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  U. S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
119, 1, 10syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  /\  S  C_  On )  ->  ( x  C_  U. S  <->  ( x  e. 
U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
1211anabss1 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
135, 12mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) )
1413ord 379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  e.  U. S  ->  x  =  U. S
) )
1514con1d 128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  =  U. S  ->  x  e.  U. S ) )
163, 15syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  x  e.  U. S ) )
1716exp4b 612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  S  -> 
( -.  U. S  e.  S  ->  x  e. 
U. S ) ) ) )
1817pm2.43d 50 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
1918com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( -. 
U. S  e.  S  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
2019imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S ) )
2120ssrdv 3438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  S  C_  U. S
)
22 ssn0 3767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  U. S  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
2321, 22sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
2421unissd 4222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  C_  U. U. S )
25 orduniss 5517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. S  ->  U. U. S  C_  U. S )
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  U. U. S  C_  U. S )
2726adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. S )
2824, 27eqssd 3449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  =  U. U. S )
2928adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  = 
U. U. S )
30 df-lim 5428 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. S  <->  ( Ord  U. S  /\  U. S  =/=  (/)  /\  U. S  = 
U. U. S ) )
312, 23, 29, 30syl3anbrc 1192 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Lim  U. S
)
3231an32s 813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  Lim  U. S
)
33323adantl1 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  Lim  U. S )
34 ssonuni 6613 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  U. S  e.  On ) )
35 limeq 5435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( Lim  y  <->  Lim  U. S
) )
36 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 U. S ) )
37 iuneq1 4292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  ->  U_ x  e.  y 
( F `  x
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) )
3836, 37eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )  <->  ( F `  U. S
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) ) )
3935, 38imbi12d 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( Lim  y  ->  ( F `  y
)  =  U_ x  e.  y  ( F `  x ) )  <->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  = 
U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) ) )
40 onfununi.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
4139, 40vtoclg 3107 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4234, 41syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) ) )
4342imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  -> 
( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
44433adant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) )
4544adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4633, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) )
47 eluni2 4202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. S  <->  E. y  e.  S  x  e.  y )
48 ssel 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  On ) )
4948anim1d 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  On  /\  x  e.  y ) ) )
50 onelon 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On )
5149, 50syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On ) )
5248adantrd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  On ) )
53 eloni 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
5448, 53syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  Ord  y ) )
55 ordelss 5439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y ) )
5754, 56syland 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
)
5851, 52, 573jcad 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y ) ) )
59 onfununi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
6058, 59syl6 34 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
6160expd 438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  (
x  e.  y  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) ) )
6261reximdvai 2859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( E. y  e.  S  x  e.  y  ->  E. y  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
6347, 62syl5bi 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  ->  E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y ) ) )
64 ssiun 4320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y )  ->  ( F `  x )  C_ 
U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6563, 64syl6 34 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  -> 
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) ) )
6665ralrimiv 2800 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  On  ->  A. x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
67 iunss 4319 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  U. S ( F `  x ) 
C_  U_ y  e.  S  ( F `  y )  <->  A. x  e.  U. S
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6866, 67sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
69 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
7069cbviunv 4317 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  S  ( F `  y )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x )
7168, 70syl6sseq 3478 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
72713ad2ant2 1030 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7372adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `  x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7446, 73eqsstrd 3466 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7574ex 436 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) ) )
76 fveq2 5865 . . . 4  |-  ( x  =  U. S  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 U. S ) )
7776ssiun2s 4322 . . 3  |-  ( U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S
)  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7875, 77pm2.61d2 164 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S ) 
C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7934imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  ->  U. S  e.  On )
80793adant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  On )
8163ad2ant2 1030 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  e.  On )
)
824a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  C_  U. S ) )
8381, 82jcad 536 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
84 sseq2 3454 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. S  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  U. S ) )
8584anbi2d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  <->  ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
8636sseq2d 3460 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  x )  C_  ( F `  y )  <->  ( F `  x ) 
C_  ( F `  U. S ) ) )
8785, 86imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) ) )
88593com12 1212 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
89883expib 1211 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
9087, 89vtoclga 3113 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) )
9180, 83, 90sylsyld 58 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  U. S ) ) )
9291ralrimiv 2800 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
93 iunss 4319 . . 3  |-  ( U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S )  <->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9492, 93sylibr 216 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9578, 94eqssd 3449 1  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   U_ciun 4278   Ord word 5422   Oncon0 5423   Lim wlim 5424   ` cfv 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-iota 5546  df-fv 5590
This theorem is referenced by:  onovuni  7061
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