MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfununi Structured version   Unicode version

Theorem onfununi 7014
Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
onfununi.1  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
onfununi.2  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
Assertion
Ref Expression
onfununi  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y    x, T
Allowed substitution hint:    T( y)

Proof of Theorem onfununi
StepHypRef Expression
1 ssorduni 6606 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  Ord  U. S )
21ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Ord  U. S
)
3 nelneq 2560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  -.  x  =  U. S )
4 elssuni 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  S  ->  x  C_ 
U. S )
54adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  x  C_ 
U. S )
6 ssel 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  On ) )
7 eloni 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
86, 7syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  Ord  x ) )
98imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  U. S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
119, 1, 10syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  /\  S  C_  On )  ->  ( x  C_  U. S  <->  ( x  e. 
U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
1211anabss1 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
135, 12mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) )
1413ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  e.  U. S  ->  x  =  U. S
) )
1514con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  =  U. S  ->  x  e.  U. S ) )
163, 15syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  x  e.  U. S ) )
1716exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  S  -> 
( -.  U. S  e.  S  ->  x  e. 
U. S ) ) ) )
1817pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( -. 
U. S  e.  S  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
2019imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S ) )
2120ssrdv 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  S  C_  U. S
)
22 ssn0 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  U. S  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
2321, 22sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
2421unissd 4258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  C_  U. U. S )
25 orduniss 4962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. S  ->  U. U. S  C_  U. S )
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  U. U. S  C_  U. S )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. S )
2824, 27eqssd 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  =  U. U. S )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  = 
U. U. S )
30 df-lim 4873 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. S  <->  ( Ord  U. S  /\  U. S  =/=  (/)  /\  U. S  = 
U. U. S ) )
312, 23, 29, 30syl3anbrc 1181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Lim  U. S
)
3231an32s 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  Lim  U. S
)
33323adantl1 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  Lim  U. S )
34 ssonuni 6607 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  U. S  e.  On ) )
35 limeq 4880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( Lim  y  <->  Lim  U. S
) )
36 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 U. S ) )
37 iuneq1 4329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  ->  U_ x  e.  y 
( F `  x
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) )
3836, 37eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )  <->  ( F `  U. S
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) ) )
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( Lim  y  ->  ( F `  y
)  =  U_ x  e.  y  ( F `  x ) )  <->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  = 
U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) ) )
40 onfununi.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
4139, 40vtoclg 3153 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4234, 41syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  -> 
( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
44433adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4633, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) )
47 eluni2 4238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. S  <->  E. y  e.  S  x  e.  y )
48 ssel 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  On ) )
4948anim1d 564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  On  /\  x  e.  y ) ) )
50 onelon 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On )
5149, 50syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On ) )
5248adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  On ) )
53 eloni 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
5448, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  Ord  y ) )
55 ordelss 4884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y ) )
5754, 56syland 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
)
5851, 52, 573jcad 1178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y ) ) )
59 onfununi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
6058, 59syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
6160expd 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  (
x  e.  y  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) ) )
6261reximdvai 2915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( E. y  e.  S  x  e.  y  ->  E. y  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
6347, 62syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  ->  E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y ) ) )
64 ssiun 4357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y )  ->  ( F `  x )  C_ 
U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6563, 64syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  -> 
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) ) )
6665ralrimiv 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  On  ->  A. x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
67 iunss 4356 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  U. S ( F `  x ) 
C_  U_ y  e.  S  ( F `  y )  <->  A. x  e.  U. S
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
69 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
7069cbviunv 4354 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  S  ( F `  y )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x )
7168, 70syl6sseq 3535 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
72713ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7372adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `  x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7446, 73eqsstrd 3523 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7574ex 434 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) ) )
76 fveq2 5856 . . . 4  |-  ( x  =  U. S  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 U. S ) )
7776ssiun2s 4359 . . 3  |-  ( U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S
)  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7875, 77pm2.61d2 160 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S ) 
C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7934imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  ->  U. S  e.  On )
80793adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  On )
8163ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  e.  On )
)
824a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  C_  U. S ) )
8381, 82jcad 533 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
84 sseq2 3511 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. S  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  U. S ) )
8584anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  <->  ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
8636sseq2d 3517 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  x )  C_  ( F `  y )  <->  ( F `  x ) 
C_  ( F `  U. S ) ) )
8785, 86imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) ) )
88593com12 1201 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
89883expib 1200 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
9087, 89vtoclga 3159 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) )
9180, 83, 90sylsyld 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  U. S ) ) )
9291ralrimiv 2855 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
93 iunss 4356 . . 3  |-  ( U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S )  <->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9492, 93sylibr 212 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9578, 94eqssd 3506 1  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U.cuni 4234   U_ciun 4315   Ord word 4867   Oncon0 4868   Lim wlim 4869   ` cfv 5578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-iota 5541  df-fv 5586
This theorem is referenced by:  onovuni  7015
  Copyright terms: Public domain W3C validator