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Theorem onfununi 6790
Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
onfununi.1  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
onfununi.2  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
Assertion
Ref Expression
onfununi  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y    x, T
Allowed substitution hint:    T( y)

Proof of Theorem onfununi
StepHypRef Expression
1 ssorduni 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  Ord  U. S )
21ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Ord  U. S
)
3 nelneq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  -.  x  =  U. S )
4 elssuni 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  S  ->  x  C_ 
U. S )
54adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  x  C_ 
U. S )
6 ssel 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  On ) )
7 eloni 4718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
86, 7syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  Ord  x ) )
98imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  Ord  x )
10 ordsseleq 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  U. S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
119, 1, 10syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  /\  S  C_  On )  ->  ( x  C_  U. S  <->  ( x  e. 
U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
1211anabss1 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  C_  U. S  <->  ( x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) ) )
135, 12mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  U. S  \/  x  =  U. S ) )
1413ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  e.  U. S  ->  x  =  U. S
) )
1514con1d 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  ( -.  x  =  U. S  ->  x  e.  U. S ) )
163, 15syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  On  /\  x  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  x  e.  U. S ) )
1716exp4b 604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  (
x  e.  S  -> 
( -.  U. S  e.  S  ->  x  e. 
U. S ) ) ) )
1817pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  S  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
1918com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( -. 
U. S  e.  S  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S
) ) )
2019imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. S ) )
2120ssrdv 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  S  C_  U. S
)
22 ssn0 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  U. S  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
2321, 22sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  =/=  (/) )
2421unissd 4105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  C_  U. U. S )
25 orduniss 4802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. S  ->  U. U. S  C_  U. S )
261, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  U. U. S  C_  U. S )
2726adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. S )
2824, 27eqssd 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  On  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U. S  =  U. U. S )
2928adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  = 
U. U. S )
30 df-lim 4713 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. S  <->  ( Ord  U. S  /\  U. S  =/=  (/)  /\  U. S  = 
U. U. S ) )
312, 23, 29, 30syl3anbrc 1167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  C_  On  /\ 
-.  U. S  e.  S
)  /\  S  =/=  (/) )  ->  Lim  U. S
)
3231an32s 797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S
)  ->  Lim  U. S
)
33323adantl1 1139 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  Lim  U. S )
34 ssonuni 6389 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  U. S  e.  On ) )
35 limeq 4720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( Lim  y  <->  Lim  U. S
) )
36 fveq2 5681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 U. S ) )
37 iuneq1 4174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U. S  ->  U_ x  e.  y 
( F `  x
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) )
3836, 37eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )  <->  ( F `  U. S
)  =  U_ x  e.  U. S ( F `
 x ) ) )
3935, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( Lim  y  ->  ( F `  y
)  =  U_ x  e.  y  ( F `  x ) )  <->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  = 
U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) ) )
40 onfununi.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  y  ->  ( F `  y )  =  U_ x  e.  y  ( F `  x )
)
4139, 40vtoclg 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4234, 41syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  T  ->  ( S  C_  On  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  -> 
( Lim  U. S  -> 
( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
44433adant3 1003 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e. 
U. S ( F `
 x ) ) )
4544adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( Lim  U. S  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) ) )
4633, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  U. S ( F `  x ) )
47 eluni2 4085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  U. S  <->  E. y  e.  S  x  e.  y )
48 ssel 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  On ) )
4948anim1d 561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  On  /\  x  e.  y ) ) )
50 onelon 4733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On )
5149, 50syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  On ) )
5248adantrd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  On ) )
53 eloni 4718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
5448, 53syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  Ord  y ) )
55 ordelss 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( Ord  y  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y ) )
5754, 56syland 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  x  C_  y )
)
5851, 52, 573jcad 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y ) ) )
59 onfununi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
6058, 59syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  On  ->  ( ( y  e.  S  /\  x  e.  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
6160exp3a 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  On  ->  ( y  e.  S  ->  (
x  e.  y  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) ) )
6261reximdvai 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  On  ->  ( E. y  e.  S  x  e.  y  ->  E. y  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  y )
) )
6347, 62syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  ->  E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y ) ) )
64 ssiun 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  S  ( F `  x ) 
C_  ( F `  y )  ->  ( F `  x )  C_ 
U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6563, 64syl6 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  On  ->  ( x  e.  U. S  -> 
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) ) )
6665ralrimiv 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  On  ->  A. x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
67 iunss 4201 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  U. S ( F `  x ) 
C_  U_ y  e.  S  ( F `  y )  <->  A. x  e.  U. S
( F `  x
)  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ y  e.  S  ( F `  y ) )
69 fveq2 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
7069cbviunv 4199 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  S  ( F `  y )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x )
7168, 70syl6sseq 3392 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  On  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
72713ad2ant2 1005 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `
 x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7372adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  U_ x  e.  U. S ( F `  x )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7446, 73eqsstrd 3380 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  /\  -.  U. S  e.  S )  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7574ex 434 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( -.  U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S )  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) ) )
76 fveq2 5681 . . . 4  |-  ( x  =  U. S  -> 
( F `  x
)  =  ( F `
 U. S ) )
7776ssiun2s 4204 . . 3  |-  ( U. S  e.  S  ->  ( F `  U. S
)  C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7875, 77pm2.61d2 160 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S ) 
C_  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
7934imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On )  ->  U. S  e.  On )
80793adant3 1003 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  On )
8163ad2ant2 1005 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  e.  On )
)
824a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  ->  x  C_  U. S ) )
8381, 82jcad 530 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
84 sseq2 3368 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. S  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  U. S ) )
8584anbi2d 698 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  <->  ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S ) ) )
8636sseq2d 3374 . . . . . . 7  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( F `  x )  C_  ( F `  y )  <->  ( F `  x ) 
C_  ( F `  U. S ) ) )
8785, 86imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  U. S  -> 
( ( ( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) ) )
88593com12 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  y
) )
89883expib 1185 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( x  e.  On  /\  x  C_  y )  ->  ( F `  x
)  C_  ( F `  y ) ) )
9087, 89vtoclga 3027 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  On  ->  ( ( x  e.  On  /\  x  C_  U. S )  ->  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) ) )
9180, 83, 90sylsyld 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( F `  x
)  C_  ( F `  U. S ) ) )
9291ralrimiv 2790 . . 3  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
93 iunss 4201 . . 3  |-  ( U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S )  <->  A. x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9492, 93sylibr 212 . 2  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  U_ x  e.  S  ( F `  x )  C_  ( F `  U. S ) )
9578, 94eqssd 3363 1  |-  ( ( S  e.  T  /\  S  C_  On  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( F `  U. S )  =  U_ x  e.  S  ( F `  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2598   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3318   (/)c0 3627   U.cuni 4081   U_ciun 4161   Ord word 4707   Oncon0 4708   Lim wlim 4709   ` cfv 5408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pr 4521  ax-un 6363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-iota 5371  df-fv 5416
This theorem is referenced by:  onovuni  6791
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