Theorem onfununi 7002

Description: A property of functions on ordinal numbers. Generalization of Theorem Schema 8E of [Enderton] p. 218. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
onfununi.1	|- ( Lim y -> ( F ` y ) = U_ x e. y ( F ` x ) )
onfununi.2	|- ( ( x e. On /\ y e. On /\ x C_ y ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) )

Assertion

Ref	Expression
onfununi	|- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( F ` U. S ) = U_ x e. S ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, F, y   x, T

Allowed substitution hint:   T( y)

Proof of Theorem onfununi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssorduni 6592	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ On -> Ord U. S )
2	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) /\ S =/= (/) ) -> Ord U. S )
3		nelneq 2577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. S /\ -. U. S e. S ) -> -. x = U. S )
4		elssuni 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. S -> x C_ U. S )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S C_ On /\ x e. S ) -> x C_ U. S )
6		ssel 3491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S C_ On -> ( x e. S -> x e. On ) )
7		eloni 4881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. On -> Ord x )
8	6, 7	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S C_ On -> ( x e. S -> Ord x ) )
9	8	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S C_ On /\ x e. S ) -> Ord x )
10		ordsseleq 4900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Ord x /\ Ord U. S ) -> ( x C_ U. S <-> ( x e. U. S \/ x = U. S ) ) )
11	9, 1, 10	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S C_ On /\ x e. S ) /\ S C_ On ) -> ( x C_ U. S <-> ( x e. U. S \/ x = U. S ) ) )
12	11	anabss1 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S C_ On /\ x e. S ) -> ( x C_ U. S <-> ( x e. U. S \/ x = U. S ) ) )
13	5, 12	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S C_ On /\ x e. S ) -> ( x e. U. S \/ x = U. S ) )
14	13	ord 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S C_ On /\ x e. S ) -> ( -. x e. U. S -> x = U. S ) )
15	14	con1d 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S C_ On /\ x e. S ) -> ( -. x = U. S -> x e. U. S ) )
16	3, 15	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ On /\ x e. S ) -> ( ( x e. S /\ -. U. S e. S ) -> x e. U. S ) )
17	16	exp4b 607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ On -> ( x e. S -> ( x e. S -> ( -. U. S e. S -> x e. U. S ) ) ) )
18	17	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ On -> ( x e. S -> ( -. U. S e. S -> x e. U. S ) ) )
19	18	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ On -> ( -. U. S e. S -> ( x e. S -> x e. U. S ) ) )
20	19	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) -> ( x e. S -> x e. U. S ) )
21	20	ssrdv 3503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) -> S C_ U. S )
22		ssn0 3811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ U. S /\ S =/= (/) ) -> U. S =/= (/) )
23	21, 22	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) /\ S =/= (/) ) -> U. S =/= (/) )
24	21	unissd 4262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) -> U. S C_ U. U. S )
25		orduniss 4965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord U. S -> U. U. S C_ U. S )
26	1, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ On -> U. U. S C_ U. S )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) -> U. U. S C_ U. S )
28	24, 27	eqssd 3514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) -> U. S = U. U. S )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) /\ S =/= (/) ) -> U. S = U. U. S )
30		df-lim 4876	. . . . . . . . 9 |- ( Lim U. S <-> ( Ord U. S /\ U. S =/= (/) /\ U. S = U. U. S ) )
31	2, 23, 29, 30	syl3anbrc 1175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ On /\ -. U. S e. S ) /\ S =/= (/) ) -> Lim U. S )
32	31	an32s 802	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ On /\ S =/= (/) ) /\ -. U. S e. S ) -> Lim U. S )
33	32	3adantl1 1147	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) /\ -. U. S e. S ) -> Lim U. S )
34		ssonuni 6593	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. T -> ( S C_ On -> U. S e. On ) )
35		limeq 4883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = U. S -> ( Lim y <-> Lim U. S ) )
36		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = U. S -> ( F ` y ) = ( F ` U. S ) )
37		iuneq1 4332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = U. S -> U_ x e. y ( F ` x ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) )
38	36, 37	eqeq12d 2482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = U. S -> ( ( F ` y ) = U_ x e. y ( F ` x ) <-> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) ) )
39	35, 38	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = U. S -> ( ( Lim y -> ( F ` y ) = U_ x e. y ( F ` x ) ) <-> ( Lim U. S -> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) ) ) )
40		onfununi.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim y -> ( F ` y ) = U_ x e. y ( F ` x ) )
41	39, 40	vtoclg 3164	. . . . . . . . . 10 |- ( U. S e. On -> ( Lim U. S -> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) ) )
42	34, 41	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( S e. T -> ( S C_ On -> ( Lim U. S -> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) ) ) )
43	42	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. T /\ S C_ On ) -> ( Lim U. S -> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) ) )
44	43	3adant3 1011	. . . . . . 7 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( Lim U. S -> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) ) )
45	44	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) /\ -. U. S e. S ) -> ( Lim U. S -> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) ) )
46	33, 45	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) /\ -. U. S e. S ) -> ( F ` U. S ) = U_ x e. U. S ( F ` x ) )
47		eluni2 4242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. S <-> E. y e. S x e. y )
48		ssel 3491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S C_ On -> ( y e. S -> y e. On ) )
49	48	anim1d 564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S C_ On -> ( ( y e. S /\ x e. y ) -> ( y e. On /\ x e. y ) ) )
50		onelon 4896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ x e. y ) -> x e. On )
51	49, 50	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ On -> ( ( y e. S /\ x e. y ) -> x e. On ) )
52	48	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ On -> ( ( y e. S /\ x e. y ) -> y e. On ) )
53		eloni 4881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. On -> Ord y )
54	48, 53	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S C_ On -> ( y e. S -> Ord y ) )
55		ordelss 4887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord y /\ x e. y ) -> x C_ y )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S C_ On -> ( ( Ord y /\ x e. y ) -> x C_ y ) )
57	54, 56	syland 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ On -> ( ( y e. S /\ x e. y ) -> x C_ y ) )
58	51, 52, 57	3jcad 1172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ On -> ( ( y e. S /\ x e. y ) -> ( x e. On /\ y e. On /\ x C_ y ) ) )
59		onfununi.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. On /\ y e. On /\ x C_ y ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) )
60	58, 59	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ On -> ( ( y e. S /\ x e. y ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) )
61	60	expd 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ On -> ( y e. S -> ( x e. y -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) ) )
62	61	reximdvai 2928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ On -> ( E. y e. S x e. y -> E. y e. S ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) )
63	47, 62	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ On -> ( x e. U. S -> E. y e. S ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) )
64		ssiun 4360	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. S ( F ` x ) C_ ( F ` y ) -> ( F ` x ) C_ U_ y e. S ( F ` y ) )
65	63, 64	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ On -> ( x e. U. S -> ( F ` x ) C_ U_ y e. S ( F ` y ) ) )
66	65	ralrimiv 2869	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ On -> A. x e. U. S ( F ` x ) C_ U_ y e. S ( F ` y ) )
67		iunss 4359	. . . . . . . . 9 |- ( U_ x e. U. S ( F ` x ) C_ U_ y e. S ( F ` y ) <-> A. x e. U. S ( F ` x ) C_ U_ y e. S ( F ` y ) )
68	66, 67	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( S C_ On -> U_ x e. U. S ( F ` x ) C_ U_ y e. S ( F ` y ) )
69		fveq2 5857	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
70	69	cbviunv 4357	. . . . . . . 8 |- U_ y e. S ( F ` y ) = U_ x e. S ( F ` x )
71	68, 70	syl6sseq 3543	. . . . . . 7 |- ( S C_ On -> U_ x e. U. S ( F ` x ) C_ U_ x e. S ( F ` x ) )
72	71	3ad2ant2 1013	. . . . . 6 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> U_ x e. U. S ( F ` x ) C_ U_ x e. S ( F ` x ) )
73	72	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) /\ -. U. S e. S ) -> U_ x e. U. S ( F ` x ) C_ U_ x e. S ( F ` x ) )
74	46, 73	eqsstrd 3531	. . . 4 |- ( ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) /\ -. U. S e. S ) -> ( F ` U. S ) C_ U_ x e. S ( F ` x ) )
75	74	ex 434	. . 3 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( -. U. S e. S -> ( F ` U. S ) C_ U_ x e. S ( F ` x ) ) )
76		fveq2 5857	. . . 4 |- ( x = U. S -> ( F ` x ) = ( F ` U. S ) )
77	76	ssiun2s 4362	. . 3 |- ( U. S e. S -> ( F ` U. S ) C_ U_ x e. S ( F ` x ) )
78	75, 77	pm2.61d2 160	. 2 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( F ` U. S ) C_ U_ x e. S ( F ` x ) )
79	34	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( S e. T /\ S C_ On ) -> U. S e. On )
80	79	3adant3 1011	. . . . 5 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> U. S e. On )
81	6	3ad2ant2 1013	. . . . . 6 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( x e. S -> x e. On ) )
82	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( x e. S -> x C_ U. S ) )
83	81, 82	jcad 533	. . . . 5 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( x e. S -> ( x e. On /\ x C_ U. S ) ) )
84		sseq2 3519	. . . . . . . 8 |- ( y = U. S -> ( x C_ y <-> x C_ U. S ) )
85	84	anbi2d 703	. . . . . . 7 |- ( y = U. S -> ( ( x e. On /\ x C_ y ) <-> ( x e. On /\ x C_ U. S ) ) )
86	36	sseq2d 3525	. . . . . . 7 |- ( y = U. S -> ( ( F ` x ) C_ ( F ` y ) <-> ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) ) )
87	85, 86	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( y = U. S -> ( ( ( x e. On /\ x C_ y ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) <-> ( ( x e. On /\ x C_ U. S ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) ) ) )
88	59	3com12 1195	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ x e. On /\ x C_ y ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) )
89	88	3expib 1194	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( ( x e. On /\ x C_ y ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` y ) ) )
90	87, 89	vtoclga 3170	. . . . 5 |- ( U. S e. On -> ( ( x e. On /\ x C_ U. S ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) ) )
91	80, 83, 90	sylsyld 56	. . . 4 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( x e. S -> ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) ) )
92	91	ralrimiv 2869	. . 3 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> A. x e. S ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) )
93		iunss 4359	. . 3 |- ( U_ x e. S ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) <-> A. x e. S ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) )
94	92, 93	sylibr 212	. 2 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> U_ x e. S ( F ` x ) C_ ( F ` U. S ) )
95	78, 94	eqssd 3514	1 |- ( ( S e. T /\ S C_ On /\ S =/= (/) ) -> ( F ` U. S ) = U_ x e. S ( F ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   U_ciun 4318   Ord word 4870   Oncon0 4871   Lim wlim 4872   ` cfv 5579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-iota 5542  df-fv 5587

This theorem is referenced by:  onovuni  7003