MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfin2 Structured version   Unicode version

Theorem onfin2 7606
Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
onfin2  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )

Proof of Theorem onfin2
StepHypRef Expression
1 nnon 6585 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
2 onfin 7605 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  Fin  <->  x  e.  om ) )
32biimprcd 225 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  Fin ) )
41, 3jcai 536 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  On  /\  x  e.  Fin )
)
52biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  om )
64, 5impbii 188 . . 3  |-  ( x  e.  om  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Fin ) )
7 elin 3640 . . 3  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Fin ) )
86, 7bitr4i 252 . 2  |-  ( x  e.  om  <->  x  e.  ( On  i^i  Fin )
)
98eqriv 2447 1  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3428   Oncon0 4820   omcom 6579   Fincfn 7413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417
This theorem is referenced by:  nnfi  7607  cantnfcl  7979  cantnfclOLD  8009  ackbij1lem9  8501  ackbij1lem10  8502  ackbij1b  8512  sdom2en01  8575  fin23lem26  8598  fin56  8666  fin1a2lem9  8681  fzfi  11904  fz1isolem  12325  ackbijnn  13402  hauspwdom  19230
  Copyright terms: Public domain W3C validator