Theorem oneo 5260

Description: If an ordinal number is even, its successor is odd.

Assertion

Ref	Expression
oneo	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. suc C = (2o .o B))

Proof of Theorem oneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onnbtwn 3762	. . 3 |- (A e. On -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
2	1	3ad2ant1 897	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
3		suceq 3729	. . . . 5 |- (C = (2o .o A) -> suc C = suc (2o .o A))
4	3	eqeq1d 1892	. . . 4 |- (C = (2o .o A) -> (suc C = (2o .o B) <-> suc (2o .o A) = (2o .o B)))
5	4	3ad2ant3 899	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc C = (2o .o B) <-> suc (2o .o A) = (2o .o B)))
6		2on 5183	. . . . . . . 8 |- 2o e. On
7		omord 5247	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On /\ 2o e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
8	6, 7	mp3an3 1180	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
9		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((A e. B /\ (/) e. 2o) -> A e. B)
10	8, 9	syl6bir 232	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((2o .o A) e. (2o .o B) -> A e. B))
11		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- (2o .o A) e. _V
12	11	sucid 3744	. . . . . . 7 |- (2o .o A) e. suc (2o .o A)
13		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> ((2o .o A) e. suc (2o .o A) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
14	12, 13	mpbii 210	. . . . . 6 |- (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (2o .o A) e. (2o .o B))
15	10, 14	syl5 20	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> A e. B))
16		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> suc (2o .o A) = (2o .o B))
17		omcl 5216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2o e. On /\ A e. On) -> (2o .o A) e. On)
18	6, 17	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> (2o .o A) e. On)
19		oa1suc 5209	. . . . . . . . . . . 12 |- ((2o .o A) e. On -> ((2o .o A) +o 1o) = suc (2o .o A))
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) = suc (2o .o A))
21		1on 5182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. On
22	21	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. _V
23	22	sucid 3744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. suc 1o
24		df-2o 5178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = suc 1o
25	23, 24	eleqtrri 1970	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
26		oaord 5228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((1o e. On /\ 2o e. On /\ (2o .o A) e. On) -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
27	21, 6, 26	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2o .o A) e. On -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
28	18, 27	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. On -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
29	25, 28	mpbii 210	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o))
30		omsuc 5210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2o e. On /\ A e. On) -> (2o .o suc A) = ((2o .o A) +o 2o))
31	6, 30	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> (2o .o suc A) = ((2o .o A) +o 2o))
32	29, 31	eleqtrrd 1974	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) e. (2o .o suc A))
33	20, 32	eqeltrrd 1972	. . . . . . . . . 10 |- (A e. On -> suc (2o .o A) e. (2o .o suc A))
34	33	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> suc (2o .o A) e. (2o .o suc A))
35	16, 34	eqeltrrd 1972	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> (2o .o B) e. (2o .o suc A))
36		omord 5247	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. On /\ suc A e. On /\ 2o e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
37	6, 36	mp3an3 1180	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. On /\ suc A e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
38		suceloni 3894	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> suc A e. On)
39	37, 38	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
40	39	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
41	40	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
42	35, 41	mpbird 213	. . . . . . 7 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> (B e. suc A /\ (/) e. 2o))
43	42	simplld 348	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> B e. suc A)
44	43	ex 402	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> B e. suc A))
45	15, 44	jcad 661	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
46	45	3adant3 896	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
47	5, 46	sylbid 220	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc C = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
48	2, 47	mtod 123	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. suc C = (2o .o B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  Oncon0 3657  suc csuc 3659  (class class class)co 4884  1oc1o 5172  2oc2o 5173   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  nneob 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain