MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onelon Structured version   Unicode version

Theorem onelon 4903
Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
onelon  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )

Proof of Theorem onelon
StepHypRef Expression
1 eloni 4888 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  Ord  A )
2 ordelon 4902 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   Ord word 4877   Oncon0 4878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882
This theorem is referenced by:  oneli  4985  ssorduni  6600  unon  6645  tfindsg2  6675  dfom2  6681  ordom  6688  onfununi  7012  onnseq  7015  tz7.48-2  7107  tz7.49  7110  oalim  7182  omlim  7183  oelim  7184  oaordi  7195  oalimcl  7209  oaass  7210  omordi  7215  omlimcl  7227  odi  7228  omass  7229  omeulem1  7231  omeulem2  7232  omopth2  7233  oewordri  7241  oeordsuc  7243  oelimcl  7249  oeeui  7251  oaabs2  7294  omabs  7296  omxpenlem  7618  hartogs  7968  card2on  7979  cantnfle  8089  cantnflt  8090  cantnfp1lem2  8097  cantnfp1lem3  8098  cantnfp1  8099  oemapvali  8102  cantnflem1b  8104  cantnflem1c  8105  cantnflem1d  8106  cantnflem1  8107  cantnflem2  8108  cantnflem3  8109  cantnflem4  8110  cantnf  8111  cantnfleOLD  8119  cantnfltOLD  8120  cantnfp1lem2OLD  8123  cantnfp1lem3OLD  8124  cantnfp1OLD  8125  cantnflem1bOLD  8127  cantnflem1cOLD  8128  cantnflem1dOLD  8129  cantnflem1OLD  8130  cantnflem3OLD  8131  cantnflem4OLD  8132  cantnfOLD  8133  cnfcomlem  8142  cnfcom3lem  8146  cnfcom3  8147  cnfcomlemOLD  8150  cnfcom3lemOLD  8154  cnfcom3OLD  8155  r1ordg  8195  r1val3  8255  tskwe  8330  iscard  8355  cardmin2  8378  infxpenlem  8390  infxpenc2lem2  8396  infxpenc2lem2OLD  8400  alephordi  8454  alephord2i  8457  alephle  8468  cardaleph  8469  cfub  8628  cfsmolem  8649  zorn2lem5  8879  zorn2lem6  8880  ttukeylem6  8893  ttukeylem7  8894  ondomon  8937  cardmin  8938  alephval2  8946  alephreg  8956  smobeth  8960  winainflem  9070  inar1  9152  inatsk  9155  dfrdg2  28821  sltval2  29009  sltres  29017  nodenselem5  29038  nodenselem7  29040  nobndlem6  29050  nobndup  29053  dfrdg4  29193  ontopbas  29486  onpsstopbas  29488  onint1  29507
  Copyright terms: Public domain W3C validator