Theorem oneli 3777

Description: A member of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 7M(a) of [Enderton] p. 192.

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
oneli	|- (B e. A -> B e. On)

Proof of Theorem oneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. 2 |- A e. On
2		onelon 3683	. 2 |- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)
3	1, 2	mpan 759	1 |- (B e. A -> B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  onssneli 3779  oawordeulem 5236  rankr1 5785  rankuni 5809  cardne 5980  cardval2 6007  alephval2 6050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain