Theorem ondomen 8435

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	|- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> B e. dom card )

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables x r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4460	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~<_ x <-> B ~<_ A ) )
2	1	rspcev 3210	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> E. x e. On B ~<_ x )
3		ac10ct 8432	. . 3 |- ( E. x e. On B ~<_ x -> E. r r We B )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> E. r r We B )
5		ween 8433	. 2 |- ( B e. dom card <-> E. r r We B )
6	4, 5	sylibr 212	1 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> B e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   E.wex 1613   e. wcel 1819   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   We wwe 4846   Oncon0 4887   dom cdm 5008   ~<_ cdom 7533   cardccrd 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-recs 7060  df-en 7536  df-dom 7537  df-card 8337

This theorem is referenced by:  numdom  8436  alephnbtwn2  8470  alephsucdom  8477  fictb  8642  cfslb2n  8665  gchaleph2  9067  hargch  9068  inawinalem  9084  rankcf  9172  tskuni  9178  1stcrestlem  20079  2ndcctbss  20082  2ndcomap  20085  2ndcsep  20086  tx1stc  20277  tx2ndc  20278  met2ndci  21151