Theorem ondomen 8205

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	|- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> B e. dom card )

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables x r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4294	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~<_ x <-> B ~<_ A ) )
2	1	rspcev 3071	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> E. x e. On B ~<_ x )
3		ac10ct 8202	. . 3 |- ( E. x e. On B ~<_ x -> E. r r We B )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> E. r r We B )
5		ween 8203	. 2 |- ( B e. dom card <-> E. r r We B )
6	4, 5	sylibr 212	1 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> B e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   E.wex 1586   e. wcel 1756   E.wrex 2714   class class class wbr 4290   We wwe 4676   Oncon0 4717   dom cdm 4838   ~<_ cdom 7306   cardccrd 8103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-recs 6830  df-en 7309  df-dom 7310  df-card 8107

This theorem is referenced by:  numdom  8206  alephnbtwn2  8240  alephsucdom  8247  fictb  8412  cfslb2n  8435  gchaleph2  8837  hargch  8838  inawinalem  8854  rankcf  8942  tskuni  8948  1stcrestlem  19054  2ndcctbss  19057  2ndcomap  19060  2ndcsep  19061  tx1stc  19221  tx2ndc  19222  met2ndci  20095