Theorem ondomen 8468

Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ondomen	|- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> B e. dom card )

Proof of Theorem ondomen

Dummy variables x r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4406	. . . 4 |- ( x = A -> ( B ~<_ x <-> B ~<_ A ) )
2	1	rspcev 3150	. . 3 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> E. x e. On B ~<_ x )
3		ac10ct 8465	. . 3 |- ( E. x e. On B ~<_ x -> E. r r We B )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> E. r r We B )
5		ween 8466	. 2 |- ( B e. dom card <-> E. r r We B )
6	4, 5	sylibr 216	1 |- ( ( A e. On /\ B ~<_ A ) -> B e. dom card )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   E.wex 1663   e. wcel 1887   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   We wwe 4792   dom cdm 4834   Oncon0 5423   ~<_ cdom 7567   cardccrd 8369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-en 7570  df-dom 7571  df-card 8373

This theorem is referenced by:  numdom  8469  alephnbtwn2  8503  alephsucdom  8510  fictb  8675  cfslb2n  8698  gchaleph2  9097  hargch  9098  inawinalem  9114  rankcf  9202  tskuni  9208  1stcrestlem  20467  2ndcctbss  20470  2ndcomap  20473  2ndcsep  20474  tx1stc  20665  tx2ndc  20666  met2ndci  21537