Theorem on0eqel 3787

Description: An ordinal number either equals zero or contains zero.

Assertion

Ref	Expression
on0eqel	|- (A e. On -> (A = (/) \/ (/) e. A))

Proof of Theorem on0eqel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 2900	. . 3 |- (/) C_ A
2		0elon 3716	. . . 4 |- (/) e. On
3		onsseleq 3704	. . . 4 |- (((/) e. On /\ A e. On) -> ((/) C_ A <-> ((/) e. A \/ (/) = A)))
4	2, 3	mpan 759	. . 3 |- (A e. On -> ((/) C_ A <-> ((/) e. A \/ (/) = A)))
5	1, 4	mpbii 210	. 2 |- (A e. On -> ((/) e. A \/ (/) = A))
6		eqcom 1886	. . . 4 |- ((/) = A <-> A = (/))
7	6	orbi2i 275	. . 3 |- (((/) e. A \/ (/) = A) <-> ((/) e. A \/ A = (/)))
8		orcom 266	. . 3 |- (((/) e. A \/ A = (/)) <-> (A = (/) \/ (/) e. A))
9	7, 8	bitri 190	. 2 |- (((/) e. A \/ (/) = A) <-> (A = (/) \/ (/) e. A))
10	5, 9	sylib 215	1 |- (A e. On -> (A = (/) \/ (/) e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  (/)c0 2875  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  snsn0non 3788  onxpdisj 4068  onxpdisjOLD 4069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain