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Theorem omwordri 7213
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.21 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 20-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omwordri  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem omwordri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
2 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3528 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x ) 
C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  (/) )  C_  ( B  .o  (/) ) ) )
4 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
5 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  y
) )
64, 5sseq12d 3528 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y ) ) )
7 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
8 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  .o  x
)  =  ( B  .o  suc  y ) )
97, 8sseq12d 3528 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  suc  y )  C_  ( B  .o  suc  y
) ) )
10 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  C
) )
11 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( B  .o  x )  =  ( B  .o  C
) )
1210, 11sseq12d 3528 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x )  <->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C ) ) )
13 om0 7159 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
14 0ss 3809 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  ( B  .o  (/) )
1513, 14syl6eqss 3549 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  C_  ( B  .o  (/) ) )
1615ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A  .o  (/) )  C_  ( B  .o  (/) ) )
17 omcl 7178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  y
)  e.  On )
18173adant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  y )  e.  On )
19 omcl 7178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y
)  e.  On )
20193adant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  y )  e.  On )
21 simp1 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  A  e.  On )
22 oawordri 7191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  On  /\  ( B  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y )  -> 
( ( A  .o  y )  +o  A
)  C_  ( ( B  .o  y )  +o  A ) ) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  (
( A  .o  y
)  +o  A ) 
C_  ( ( B  .o  y )  +o  A ) ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) )  -> 
( ( A  .o  y )  +o  A
)  C_  ( ( B  .o  y )  +o  A ) )
2524adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  A ) )
26 oaword 7190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  ( B  .o  y )  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2720, 26syld3an3 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) ) )
2827biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )
2928adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( B  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )
3025, 29sstrd 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A )  C_  (
( B  .o  y
)  +o  B ) )
31 omsuc 7168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
32313adant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  A ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
34 omsuc 7168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
35343adant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y )  +o  B ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( B  .o  suc  y )  =  ( ( B  .o  y
)  +o  B ) )
3730, 33, 363sstr4d 3542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  y  e.  On )  /\  ( A  C_  B  /\  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y ) ) )  ->  ( A  .o  suc  y )  C_  ( B  .o  suc  y ) )
3837exp520 1212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( y  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  suc  y ) 
C_  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
3938com3r 79 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  On  ->  ( A  C_  B  ->  ( ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  suc  y ) 
C_  ( B  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
4039imp4c 591 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  suc  y ) 
C_  ( B  .o  suc  y ) ) ) )
41 vex 3111 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
42 ss2iun 4336 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y
)  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
43 omlim 7175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  y ) )
4443ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( A  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  y ) )
45 omlim 7175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( B  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( B  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) )
4744, 46sseq12d 3528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x
)  <->  U_ y  e.  x  ( A  .o  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( B  .o  y ) ) )
4842, 47syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  /\  ( B  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\  Lim  x ) ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x ) ) )
4948anandirs 828 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e. 
_V  /\  Lim  x ) )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x ) ) )
5041, 49mpanr1 683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y )  -> 
( A  .o  x
)  C_  ( B  .o  x ) ) )
5150expcom 435 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y
)  C_  ( B  .o  y )  ->  ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x
) ) ) )
5251adantrd 468 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B
)  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  C_  ( B  .o  y
)  ->  ( A  .o  x )  C_  ( B  .o  x ) ) ) )
533, 6, 9, 12, 16, 40, 52tfinds3 6672 . . . 4  |-  ( C  e.  On  ->  (
( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
5453expd 436 . . 3  |-  ( C  e.  On  ->  (
( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C ) ) ) )
55543impib 1189 . 2  |-  ( ( C  e.  On  /\  A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
56553coml 1198 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On  /\  C  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  .o  C )  C_  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   (/)c0 3780   U_ciun 4320   Oncon0 4873   Lim wlim 4874   suc csuc 4875  (class class class)co 6277    +o coa 7119    .o comu 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-omul 7127
This theorem is referenced by:  omword2  7215  oewordri  7233  oeordsuc  7235
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