Theorem omwordri 5251

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.21 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
omwordri	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A C_ B -> (A .o C) C_ (B .o C)))

Proof of Theorem omwordri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = (/) -> (A .o x) = (A .o (/)))
2		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = (/) -> (B .o x) = (B .o (/)))
3	1, 2	sseq12d 2646	. . . . 5 |- (x = (/) -> ((A .o x) C_ (B .o x) <-> (A .o (/)) C_ (B .o (/))))
4		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = y -> (A .o x) = (A .o y))
5		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = y -> (B .o x) = (B .o y))
6	4, 5	sseq12d 2646	. . . . 5 |- (x = y -> ((A .o x) C_ (B .o x) <-> (A .o y) C_ (B .o y)))
7		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = suc y -> (A .o x) = (A .o suc y))
8		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = suc y -> (B .o x) = (B .o suc y))
9	7, 8	sseq12d 2646	. . . . 5 |- (x = suc y -> ((A .o x) C_ (B .o x) <-> (A .o suc y) C_ (B .o suc y)))
10		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = C -> (A .o x) = (A .o C))
11		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = C -> (B .o x) = (B .o C))
12	10, 11	sseq12d 2646	. . . . 5 |- (x = C -> ((A .o x) C_ (B .o x) <-> (A .o C) C_ (B .o C)))
13		0ss 2900	. . . . . . 7 |- (/) C_ (B .o (/))
14		om0 5201	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))
15	14	sseq1d 2644	. . . . . . 7 |- (A e. On -> ((A .o (/)) C_ (B .o (/)) <-> (/) C_ (B .o (/))))
16	13, 15	mpbiri 211	. . . . . 6 |- (A e. On -> (A .o (/)) C_ (B .o (/)))
17	16	ad2antrr 440	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ A C_ B) -> (A .o (/)) C_ (B .o (/)))
18		omcl 5216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A .o y) e. On)
19	18	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) -> (A .o y) e. On)
20		omcl 5216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. On /\ y e. On) -> (B .o y) e. On)
21	20	3adant1 894	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) -> (B .o y) e. On)
22		simp1 876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) -> A e. On)
23		oawordri 5232	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .o y) e. On /\ (B .o y) e. On /\ A e. On) -> ((A .o y) C_ (B .o y) -> ((A .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o A)))
24	19, 21, 22, 23	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) -> ((A .o y) C_ (B .o y) -> ((A .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o A)))
25	24	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ (A .o y) C_ (B .o y)) -> ((A .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o A))
26	25	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ (A C_ B /\ (A .o y) C_ (B .o y))) -> ((A .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o A))
27		oaword 5230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. On /\ B e. On /\ (B .o y) e. On) -> (A C_ B <-> ((B .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o B)))
28	27, 21	syld3an3 1142	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) -> (A C_ B <-> ((B .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o B)))
29	28	biimpa 460	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ A C_ B) -> ((B .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o B))
30	29	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ (A C_ B /\ (A .o y) C_ (B .o y))) -> ((B .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o B))
31	26, 30	sstrd 2627	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ (A C_ B /\ (A .o y) C_ (B .o y))) -> ((A .o y) +o A) C_ ((B .o y) +o B))
32		omsuc 5210	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
33	32	3adant2 895	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
34	33	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ (A C_ B /\ (A .o y) C_ (B .o y))) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
35		omsuc 5210	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. On /\ y e. On) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
36	35	3adant1 894	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
37	36	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ (A C_ B /\ (A .o y) C_ (B .o y))) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
38	31, 34, 37	3sstr4d 2660	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On /\ y e. On) /\ (A C_ B /\ (A .o y) C_ (B .o y))) -> (A .o suc y) C_ (B .o suc y))
39	38	exp520 1089	. . . . . . 7 |- (A e. On -> (B e. On -> (y e. On -> (A C_ B -> ((A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o suc y) C_ (B .o suc y))))))
40	39	com3r 39	. . . . . 6 |- (y e. On -> (A e. On -> (B e. On -> (A C_ B -> ((A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o suc y) C_ (B .o suc y))))))
41	40	imp4c 393	. . . . 5 |- (y e. On -> (((A e. On /\ B e. On) /\ A C_ B) -> ((A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o suc y) C_ (B .o suc y))))
42		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
43		omlim 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
44	43	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) /\ (B e. On /\ (x e. _V /\ Lim x))) -> (A .o x) = U_y e. x (A .o y))
45		omlim 5213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) -> (B .o x) = U_y e. x (B .o y))
46	45	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) /\ (B e. On /\ (x e. _V /\ Lim x))) -> (B .o x) = U_y e. x (B .o y))
47	44, 46	sseq12d 2646	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) /\ (B e. On /\ (x e. _V /\ Lim x))) -> ((A .o x) C_ (B .o x) <-> U_y e. x (A .o y) C_ U_y e. x (B .o y)))
48		ss2iun 3271	. . . . . . . . . 10 |- (A.y e. x (A .o y) C_ (B .o y) -> U_y e. x (A .o y) C_ U_y e. x (B .o y))
49	47, 48	syl5bir 227	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ (x e. _V /\ Lim x)) /\ (B e. On /\ (x e. _V /\ Lim x))) -> (A.y e. x (A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o x) C_ (B .o x)))
50	49	anandirs 571	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (x e. _V /\ Lim x)) -> (A.y e. x (A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o x) C_ (B .o x)))
51	42, 50	mpanr1 774	. . . . . . 7 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ Lim x) -> (A.y e. x (A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o x) C_ (B .o x)))
52	51	expcom 403	. . . . . 6 |- (Lim x -> ((A e. On /\ B e. On) -> (A.y e. x (A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o x) C_ (B .o x))))
53	52	adantrd 427	. . . . 5 |- (Lim x -> (((A e. On /\ B e. On) /\ A C_ B) -> (A.y e. x (A .o y) C_ (B .o y) -> (A .o x) C_ (B .o x))))
54	3, 6, 9, 12, 17, 41, 53	tfinds3 3948	. . . 4 |- (C e. On -> (((A e. On /\ B e. On) /\ A C_ B) -> (A .o C) C_ (B .o C)))
55	54	exp3a 405	. . 3 |- (C e. On -> ((A e. On /\ B e. On) -> (A C_ B -> (A .o C) C_ (B .o C))))
56	55	3impib 1065	. 2 |- ((C e. On /\ A e. On /\ B e. On) -> (A C_ B -> (A .o C) C_ (B .o C)))
57	56	3coml 1075	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A C_ B -> (A .o C) C_ (B .o C)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U_ciun 3255  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  (class class class)co 4884   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  omword2 5253  oewordri 5267  oeordsuc 5269

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain