Theorem omwordi 5250

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omwordi	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A C_ B -> (C .o A) C_ (C .o B)))

Proof of Theorem omwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omword 5249	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A C_ B <-> (C .o A) C_ (C .o B)))
2	1	biimpd 170	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A C_ B -> (C .o A) C_ (C .o B)))
3	2	ex 402	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (A C_ B -> (C .o A) C_ (C .o B))))
4		eloni 3667	. . . . . 6 |- (C e. On -> Ord C)
5		ord0eln0 3717	. . . . . . 7 |- (Ord C -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
6	5	necon2bbid 2066	. . . . . 6 |- (Ord C -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
7	4, 6	syl 12	. . . . 5 |- (C e. On -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
8	7	3ad2ant3 899	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
9		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (C = (/) -> (C .o A) = ((/) .o A))
10		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (C = (/) -> (C .o B) = ((/) .o B))
11	9, 10	sseq12d 2646	. . . . . 6 |- (C = (/) -> ((C .o A) C_ (C .o B) <-> ((/) .o A) C_ ((/) .o B)))
12		ssid 2634	. . . . . . 7 |- (/) C_ (/)
13		om0r 5221	. . . . . . . . 9 |- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))
14	13	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o A) = (/))
15		om0r 5221	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> ((/) .o B) = (/))
16	15	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o B) = (/))
17	14, 16	sseq12d 2646	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) .o A) C_ ((/) .o B) <-> (/) C_ (/)))
18	12, 17	mpbiri 211	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o A) C_ ((/) .o B))
19	11, 18	syl5cbir 228	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (C = (/) -> (C .o A) C_ (C .o B)))
20	19	3adant3 896	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (C = (/) -> (C .o A) C_ (C .o B)))
21	8, 20	sylbird 222	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (-. (/) e. C -> (C .o A) C_ (C .o B)))
22	21	a1dd 53	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (-. (/) e. C -> (A C_ B -> (C .o A) C_ (C .o B))))
23	3, 22	pm2.61d 141	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A C_ B -> (C .o A) C_ (C .o B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  (/)c0 2875  Ord word 3656  Oncon0 3657  (class class class)co 4884   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  omword1 5252  omass 5259  oewordri 5267  oeoalem 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain