Theorem omword1 4262

Description: An ordinal is less than or equal to its product with another.

Assertion

Ref	Expression
omword1	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> A (_ (A .o B))

Proof of Theorem omword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 3015	. . . . 5 |- (B e. On -> Ord B)
2		ordgt0ge1 4202	. . . . 5 |- (Ord B -> ((/) e. B <-> 1o (_ B))
3	1, 2	syl 10	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> 1o (_ B))
4	3	adantl 397	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. B <-> 1o (_ B))
5		1on 4196	. . . . . 6 |- 1o e. On
6		omwordi 4260	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ B e. On /\ A e. On) -> (1o (_ B -> (A .o 1o) (_ (A .o B)))
7	5, 6	mp3an1 915	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (1o (_ B -> (A .o 1o) (_ (A .o B)))
8	7	ancoms 447	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (1o (_ B -> (A .o 1o) (_ (A .o B)))
9		om1 4234	. . . . . 6 |- (A e. On -> (A .o 1o) = A)
10	9	adantr 398	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o 1o) = A)
11	10	sseq1d 2139	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o 1o) (_ (A .o B) <-> A (_ (A .o B)))
12	8, 11	sylibd 209	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (1o (_ B -> A (_ (A .o B)))
13	4, 12	sylbid 210	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. B -> A (_ (A .o B)))
14	13	imp 357	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> A (_ (A .o B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   (_ wss 2098  (/)c0 2331  Ord word 3004  Oncon0 3005  (class class class)co 4021  1oc1o 4186   .o comu 4189

This theorem is referenced by:  om00 4264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194

Copyright terms: Public domain