Theorem omword 5249

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omword	|- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A C_ B <-> (C .o A) C_ (C .o B)))

Proof of Theorem omword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omord2 5246	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
2		omcan 5248	. . . . 5 |- (((C e. On /\ A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) = (C .o B) <-> A = B))
3		3anrot 863	. . . . 5 |- ((C e. On /\ A e. On /\ B e. On) <-> (A e. On /\ B e. On /\ C e. On))
4	2, 3	sylanbr 499	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) = (C .o B) <-> A = B))
5	4	bicomd 580	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A = B <-> (C .o A) = (C .o B)))
6	1, 5	orbi12d 689	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((A e. B \/ A = B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
7		onsseleq 3704	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A C_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
8	7	3adant3 896	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A C_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
9	8	adantr 425	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A C_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
10		omcl 5216	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C .o A) e. On)
11		omcl 5216	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ B e. On) -> (C .o B) e. On)
12	10, 11	anim12i 360	. . . . . . 7 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (C e. On /\ B e. On)) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
13	12	anandis 570	. . . . . 6 |- ((C e. On /\ (A e. On /\ B e. On)) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
14	13	ancoms 484	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ C e. On) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
15	14	3impa 1062	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
16		onsseleq 3704	. . . 4 |- (((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On) -> ((C .o A) C_ (C .o B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
17	15, 16	syl 12	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) C_ (C .o B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
18	17	adantr 425	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) C_ (C .o B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
19	6, 9, 18	3bitr4d 609	1 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A C_ B <-> (C .o A) C_ (C .o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  (/)c0 2875  Oncon0 3657  (class class class)co 4884   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  omwordi 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain