Theorem omword 4259

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omword	|- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A (_ B <-> (C .o A) (_ (C .o B)))

Proof of Theorem omword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omord2 4256	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
2		omcan 4258	. . . . 5 |- (((C e. On /\ A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) = (C .o B) <-> A = B))
3		3anrot 792	. . . . 5 |- ((C e. On /\ A e. On /\ B e. On) <-> (A e. On /\ B e. On /\ C e. On))
4	2, 3	sylanbr 461	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) = (C .o B) <-> A = B))
5	4	bicomd 532	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A = B <-> (C .o A) = (C .o B)))
6	1, 5	orbi12d 638	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((A e. B \/ A = B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
7		onsseleq 3056	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
8	7	3adant3 811	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
9	8	adantr 398	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))
10		omcl 4229	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C .o A) e. On)
11		omcl 4229	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ B e. On) -> (C .o B) e. On)
12	10, 11	anim12i 340	. . . . . . 7 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (C e. On /\ B e. On)) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
13	12	anandis 523	. . . . . 6 |- ((C e. On /\ (A e. On /\ B e. On)) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
14	13	ancoms 447	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ C e. On) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
15	14	3impa 840	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On))
16		onsseleq 3056	. . . 4 |- (((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On) -> ((C .o A) (_ (C .o B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
17	15, 16	syl 10	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) (_ (C .o B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
18	17	adantr 398	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) (_ (C .o B) <-> ((C .o A) e. (C .o B) \/ (C .o A) = (C .o B))))
19	6, 9, 18	3bitr4d 561	1 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A (_ B <-> (C .o A) (_ (C .o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999   (_ wss 2098  (/)c0 2331  Oncon0 3005  (class class class)co 4021   .o comu 4189

This theorem is referenced by:  omwordi 4260

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-oadd 4193  df-omul 4194

Copyright terms: Public domain