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Theorem omsval 28080
Description: Value of the function mapping a content function to the corresponding outer measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
omsval  |-  ( R  e.  _V  ->  (toOMeas `  R )  =  ( a  e.  ~P U. dom  R  |->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
Distinct variable group:    R, a, x, y, z

Proof of Theorem omsval
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oms 28079 . . 3  |- toOMeas  =  ( r  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P U. dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  _V  -> toOMeas  =  ( r  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P U. dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) ) )
3 dmeq 5209 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
43unieqd 4261 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U. dom  r  =  U. dom  R
)
54pweqd 4021 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ~P U.
dom  r  =  ~P U.
dom  R )
65pweqd 4021 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ~P ~P U. dom  r  =  ~P ~P U. dom  R )
7 rabeq 3112 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ~P U. dom  r  =  ~P ~P U. dom  R  ->  { z  e. 
~P ~P U. dom  r  |  ( a  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  =  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  { z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  =  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
9 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  y  e.  x )  ->  r  =  R )
109fveq1d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  y  e.  x )  ->  ( r `  y
)  =  ( R `
 y ) )
1110esumeq2dv 27867 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  -> Σ* y  e.  x
( r `  y
)  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
128, 11mpteq12dv 4531 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1312rneqd 5236 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) )  =  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1413supeq1d 7918 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  sup ( ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
155, 14mpteq12dv 4531 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
a  e.  ~P U. dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  =  ( a  e.  ~P U.
dom  R  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  _V  /\  r  =  R )  ->  ( a  e.  ~P U.
dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  =  ( a  e.  ~P U.
dom  R  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
17 id 22 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  R  e.  _V )
18 dmexg 6726 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  dom  R  e.  _V )
19 uniexg 6592 . . 3  |-  ( dom 
R  e.  _V  ->  U.
dom  R  e.  _V )
20 pwexg 4637 . . 3  |-  ( U. dom  R  e.  _V  ->  ~P
U. dom  R  e.  _V )
21 mptexg 6141 . . 3  |-  ( ~P
U. dom  R  e.  _V  ->  ( a  e. 
~P U. dom  R  |->  sup ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  e.  _V )
2218, 19, 20, 214syl 21 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  (
a  e.  ~P U. dom  R  |->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  e.  _V )
232, 16, 17, 22fvmptd 5962 1  |-  ( R  e.  _V  ->  (toOMeas `  R )  =  ( a  e.  ~P U. dom  R  |->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695    ~<_ cdom 7526   supcsup 7912   0cc0 9504   +oocpnf 9637    < clt 9640   [,]cicc 11544  Σ*cesum 27856  toOMeascoms 28078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-sup 7913  df-esum 27857  df-oms 28079
This theorem is referenced by:  omsfval  28081
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