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Theorem omsval 26707
Description: Value of the function mapping a content function to the corresponding outer measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
omsval  |-  ( R  e.  _V  ->  (toOMeas `  R )  =  ( a  e.  ~P U. dom  R  |->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
Distinct variable group:    R, a, x, y, z

Proof of Theorem omsval
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oms 26706 . . 3  |- toOMeas  =  ( r  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P U. dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  _V  -> toOMeas  =  ( r  e.  _V  |->  ( a  e.  ~P U. dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) ) )
3 dmeq 5039 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
43unieqd 4100 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  U. dom  r  =  U. dom  R
)
54pweqd 3864 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ~P U.
dom  r  =  ~P U.
dom  R )
65pweqd 3864 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ~P ~P U. dom  r  =  ~P ~P U. dom  R )
7 rabeq 2965 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ~P U. dom  r  =  ~P ~P U. dom  R  ->  { z  e. 
~P ~P U. dom  r  |  ( a  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) }  =  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  { z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  =  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
9 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  =  R  /\  y  e.  x )  ->  r  =  R )
109fveq1d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  y  e.  x )  ->  ( r `  y
)  =  ( R `
 y ) )
1110esumeq2dv 26493 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  -> Σ* y  e.  x
( r `  y
)  = Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
128, 11mpteq12dv 4369 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1312rneqd 5066 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) )  =  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1413supeq1d 7695 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  sup ( ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
155, 14mpteq12dv 4369 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
a  e.  ~P U. dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  =  ( a  e.  ~P U.
dom  R  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  _V  /\  r  =  R )  ->  ( a  e.  ~P U.
dom  r  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  r  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( r `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  =  ( a  e.  ~P U.
dom  R  |->  sup ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  (
a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
17 id 22 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  R  e.  _V )
18 dmexg 6508 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  dom  R  e.  _V )
19 uniexg 6376 . . 3  |-  ( dom 
R  e.  _V  ->  U.
dom  R  e.  _V )
20 pwexg 4475 . . 3  |-  ( U. dom  R  e.  _V  ->  ~P
U. dom  R  e.  _V )
21 mptexg 5946 . . 3  |-  ( ~P
U. dom  R  e.  _V  ->  ( a  e. 
~P U. dom  R  |->  sup ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( a  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  e.  _V )
2218, 19, 20, 214syl 21 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  (
a  e.  ~P U. dom  R  |->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )  e.  _V )
232, 16, 17, 22fvmptd 5778 1  |-  ( R  e.  _V  ->  (toOMeas `  R )  =  ( a  e.  ~P U. dom  R  |->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( a 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2718   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   omcom 6475    ~<_ cdom 7307   supcsup 7689   0cc0 9281   +oocpnf 9414    < clt 9417   [,]cicc 11302  Σ*cesum 26482  toOMeascoms 26705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-sup 7690  df-esum 26483  df-oms 26706
This theorem is referenced by:  omsfval  26708
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