MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsucdomOLD Structured version   Unicode version

Theorem omsucdomOLD 7527
Description: Strict dominance of natural numbers is the same as dominance over the successor of the smaller. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
omsucdomOLD  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem omsucdomOLD
StepHypRef Expression
1 nnord 6505 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
2 nnord 6505 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ordelpss 4768 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  A  C.  B ) )
42, 3sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  A  C.  B
) )
5 ordelsuc 6452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  suc  A  C_  B ) )
64, 5bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  C.  B  <->  suc  A  C_  B ) )
71, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C.  B  <->  suc 
A  C_  B )
)
8 nnsdomo 7526 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  A  C.  B
) )
9 peano2b 6513 . . 3  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
10 nndomo 7525 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  B  <->  suc  A  C_  B )
)
119, 10sylanb 472 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  B  <->  suc  A  C_  B )
)
127, 8, 113bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3349    C. wpss 3350   class class class wbr 4313   Ord word 4739   suc csuc 4742   omcom 6497    ~<_ cdom 7329    ~< csdm 7330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-om 6498  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334
This theorem is referenced by:  fisucdomOLD  7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator