Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssubaddlemOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: For any small margin , we can find a covering approaching the outer measure of a set by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) Obsolete version of omssubaddlem 29127 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omsOLD.m toOMeas
omsOLD.o
omsOLD.r
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubaddlemOLD.m . . . . . . . 8
2 omssubaddlemOLD.e . . . . . . . . 9
32rpred 11341 . . . . . . . 8
41, 3readdcld 9670 . . . . . . 7
54rexrd 9690 . . . . . 6
6 omsOLD.o . . . . . . . . . . 11
7 omsOLD.r . . . . . . . . . . 11
8 omsfOLD 29124 . . . . . . . . . . 11 toOMeas
96, 7, 8syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 toOMeas
10 omsOLD.m . . . . . . . . . . 11 toOMeas
1110feq1i 5720 . . . . . . . . . 10 toOMeas
129, 11sylibr 216 . . . . . . . . 9
13 omssubaddlemOLD.a . . . . . . . . . . 11
14 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . 13
157, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12
1615unieqd 4208 . . . . . . . . . . 11
1713, 16sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . 10
18 uniexg 6588 . . . . . . . . . . . . 13
196, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12
2013, 19jca 535 . . . . . . . . . . 11
21 ssexg 4549 . . . . . . . . . . 11
22 elpwg 3959 . . . . . . . . . . 11
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . 10
2417, 23mpbird 236 . . . . . . . . 9
2512, 24ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8
26 elxrge0 11741 . . . . . . . . 9
2726simprbi 466 . . . . . . . 8
2825, 27syl 17 . . . . . . 7
292rpge0d 11345 . . . . . . 7
301, 3, 28, 29addge0d 10189 . . . . . 6
315, 30jca 535 . . . . 5
32 elxrge0 11741 . . . . 5
3331, 32sylibr 216 . . . 4
341, 2ltaddrpd 11371 . . . . . 6
35 ovex 6318 . . . . . . 7
36 fvex 5875 . . . . . . 7
3735, 36brcnv 5017 . . . . . 6
3834, 37sylibr 216 . . . . 5
3910fveq1i 5866 . . . . . 6 toOMeas
40 omsfvalOLD 29122 . . . . . . 7 toOMeas Σ*
416, 7, 13, 40syl3anc 1268 . . . . . 6 toOMeas Σ*
4239, 41syl5eq 2497 . . . . 5 Σ*
4338, 42breqtrd 4427 . . . 4 Σ*
4433, 43jca 535 . . 3 Σ*
45 iccssxr 11717 . . . . . . 7
46 xrltso 11440 . . . . . . 7
47 soss 4773 . . . . . . 7
4845, 46, 47mp2 9 . . . . . 6
49 cnvso 5375 . . . . . 6
5048, 49mpbi 212 . . . . 5
5150a1i 11 . . . 4
52 omsclOLD 29123 . . . . . 6 Σ*
536, 7, 24, 52syl3anc 1268 . . . . 5 Σ*
54 xrge0infssOLD 28341 . . . . 5 Σ* Σ* Σ*
5553, 54syl 17 . . . 4 Σ* Σ*
5651, 55suplub 7974 . . 3 Σ* Σ*
5744, 56mpd 15 . 2 Σ*
58 eqid 2451 . . . . . . . 8 Σ* Σ*
59 esumex 28850 . . . . . . . 8 Σ*
6058, 59elrnmpti 5085 . . . . . . 7 Σ* Σ*
6160anbi1i 701 . . . . . 6 Σ* Σ*
62 r19.41v 2942 . . . . . 6 Σ* Σ*
6361, 62bitr4i 256 . . . . 5 Σ* Σ*
6463exbii 1718 . . . 4 Σ* Σ*
65 df-rex 2743 . . . 4 Σ* Σ*
66 rexcom4 3067 . . . 4 Σ* Σ*
6764, 65, 663bitr4i 281 . . 3 Σ* Σ*
68 simpr 463 . . . . . . 7 Σ*
69 simpl 459 . . . . . . 7 Σ* Σ*
7068, 69breqtrd 4427 . . . . . 6 Σ* Σ*
7135, 59brcnv 5017 . . . . . 6 Σ* Σ*
7270, 71sylib 200 . . . . 5 Σ* Σ*
7372exlimiv 1776 . . . 4 Σ* Σ*
7473reximi 2855 . . 3 Σ* Σ*
7567, 74sylbi 199 . 2 Σ* Σ*
7657, 75syl 17 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738  crab 2741  cvv 3045   wss 3404  cpw 3951  cuni 4198   class class class wbr 4402   cmpt 4461   wor 4754  ccnv 4833   cdm 4834   crn 4835  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  com 6692   cdom 7567  csup 7954  cr 9538  cc0 9539   caddc 9542   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675   cle 9676  crp 11302  cicc 11638  Σ*cesum 28848  toOMeascomsold 29114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-cn 20243  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tsms 21141  df-esum 28849  df-omsOLD 29116 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator