Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omssubaddlem Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: For any small margin , we can find a covering approaching the outer measure of a set by that margin. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m toOMeas
oms.o
oms.r
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem omssubaddlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omssubaddlem.m . . . . . 6
2 omssubaddlem.e . . . . . . 7
32rpred 11338 . . . . . 6
41, 3readdcld 9667 . . . . 5
54rexrd 9687 . . . 4
6 oms.o . . . . . . . . 9
7 oms.r . . . . . . . . 9
8 omsf 29113 . . . . . . . . 9 toOMeas
96, 7, 8syl2anc 666 . . . . . . . 8 toOMeas
10 oms.m . . . . . . . . 9 toOMeas
1110feq1i 5718 . . . . . . . 8 toOMeas
129, 11sylibr 216 . . . . . . 7
13 omssubaddlem.a . . . . . . . . 9
14 fdm 5731 . . . . . . . . . . 11
157, 14syl 17 . . . . . . . . . 10
1615unieqd 4207 . . . . . . . . 9
1713, 16sseqtr4d 3468 . . . . . . . 8
18 uniexg 6585 . . . . . . . . . . 11
196, 18syl 17 . . . . . . . . . 10
2013, 19jca 535 . . . . . . . . 9
21 ssexg 4548 . . . . . . . . 9
22 elpwg 3958 . . . . . . . . 9
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8
2417, 23mpbird 236 . . . . . . 7
2512, 24ffvelrnd 6021 . . . . . 6
26 elxrge0 11738 . . . . . . 7
2726simprbi 466 . . . . . 6
2825, 27syl 17 . . . . 5
292rpge0d 11342 . . . . 5
301, 3, 28, 29addge0d 10186 . . . 4
31 elxrge0 11738 . . . 4
325, 30, 31sylanbrc 669 . . 3
3310fveq1i 5864 . . . . 5 toOMeas
34 omsfval 29111 . . . . . 6 toOMeas inf Σ*
356, 7, 13, 34syl3anc 1267 . . . . 5 toOMeas inf Σ*
3633, 35syl5req 2497 . . . 4 inf Σ*
371, 2ltaddrpd 11368 . . . 4
3836, 37eqbrtrd 4422 . . 3 inf Σ*
39 iccssxr 11714 . . . . . 6
40 xrltso 11437 . . . . . 6
41 soss 4772 . . . . . 6
4239, 40, 41mp2 9 . . . . 5
4342a1i 11 . . . 4
44 omscl 29112 . . . . . 6 Σ*
456, 7, 24, 44syl3anc 1267 . . . . 5 Σ*
46 xrge0infss 28333 . . . . 5 Σ* Σ* Σ*
4745, 46syl 17 . . . 4 Σ* Σ*
4843, 47infglb 8003 . . 3 inf Σ* Σ*
4932, 38, 48mp2and 684 . 2 Σ*
50 eqid 2450 . . . . . . . 8 Σ* Σ*
51 esumex 28843 . . . . . . . 8 Σ*
5250, 51elrnmpti 5084 . . . . . . 7 Σ* Σ*
5352anbi1i 700 . . . . . 6 Σ* Σ*
54 r19.41v 2941 . . . . . 6 Σ* Σ*
5553, 54bitr4i 256 . . . . 5 Σ* Σ*
5655exbii 1717 . . . 4 Σ* Σ*
57 df-rex 2742 . . . 4 Σ* Σ*
58 rexcom4 3066 . . . 4 Σ* Σ*
5956, 57, 583bitr4i 281 . . 3 Σ* Σ*
60 breq1 4404 . . . . . 6 Σ* Σ*
6160biimpa 487 . . . . 5 Σ* Σ*
6261exlimiv 1775 . . . 4 Σ* Σ*
6362reximi 2854 . . 3 Σ* Σ*
6459, 63sylbi 199 . 2 Σ* Σ*
6549, 64syl 17 1 Σ*
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443  wex 1662   wcel 1886  wral 2736  wrex 2737  crab 2740  cvv 3044   wss 3403  cpw 3950  cuni 4197   class class class wbr 4401   cmpt 4460   wor 4753   cdm 4833   crn 4834  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  com 6689   cdom 7564  infcinf 7952  cr 9535  cc0 9536   caddc 9539   cpnf 9669  cxr 9671   clt 9672   cle 9673  crp 11299  cicc 11635  Σ*cesum 28841  toOMeascoms 29106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-ordt 15392  df-xrs 15393  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-ntr 20028  df-nei 20107  df-cn 20236  df-haus 20324  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-tsms 21134  df-esum 28842  df-oms 29108 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator