Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmonOLD Structured version   Unicode version

Theorem omsmonOLD 29139
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) Obsolete version of omsmon 29135 as of 4-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omsOLD.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
omsOLD.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
omsOLD.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsmonOLD.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
omsmonOLD.b  |-  ( ph  ->  B  C_  U. Q )
Assertion
Ref Expression
omsmonOLD  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )

Proof of Theorem omsmonOLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmonOLD.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  ->  A  C_  B )
3 sstr2 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  U. z  ->  A  C_  U. z ) )
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  -> 
( B  C_  U. z  ->  A  C_  U. z
) )
54anim1d 566 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  -> 
( ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  ->  ( A  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) ) )
65ss2rabdv 3542 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
7 resmpt 5173 . . . . . . 7  |-  ( { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  ->  (
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
9 resss 5147 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  C_  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
108, 9syl6eqssr 3515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
11 rnss 5082 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
13 omsOLD.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
1413ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
15 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P dom  R
16 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
1715, 16sseldi 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P dom  R )
18 elpwi 3990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P dom  R  ->  x  C_  dom  R )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  dom  R )
20 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
2221ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  dom  R  =  Q )
2319, 22sseqtrd 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  Q )
24 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
2523, 24sseldd 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Q )
2614, 25ffvelrnd 6039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2726ralrimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
28 vex 3083 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
29 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
x
3029esumcl 28860 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3128, 30mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3227, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3332ralrimiva 2836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
3534rnmptss 6068 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ*
y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3633, 35syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3712, 36xrge0infssdOLD 28350 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  <_  sup ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
38 omsOLD.o . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
39 omsmonOLD.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. Q )
401, 39sstrd 3474 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U. Q )
41 omsfvalOLD 29131 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  C_  U. Q )  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
4238, 13, 40, 41syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
43 omsfvalOLD 29131 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  B  C_  U. Q )  ->  ( (toOMeas `  R
) `  B )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
4438, 13, 39, 43syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  B )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
4537, 42, 443brtr4d 4454 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  <_  ( (toOMeas `  R
) `  B )
)
46 omsOLD.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
4746fveq1i 5883 . 2  |-  ( M `
 A )  =  ( (toOMeas `  R
) `  A )
4846fveq1i 5883 . 2  |-  ( M `
 B )  =  ( (toOMeas `  R
) `  B )
4945, 47, 483brtr4g 4456 1  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   {crab 2775   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   ~Pcpw 3981   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   omcom 6707    ~<_ cdom 7579   supcsup 7964   0cc0 9547   +oocpnf 9680    < clt 9683    <_ cle 9684   [,]cicc 11646  Σ*cesum 28857  toOMeascomsold 29123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-xadd 11418  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-topsp 19923  df-ntr 20034  df-nei 20113  df-cn 20242  df-haus 20330  df-fil 20860  df-fm 20952  df-flim 20953  df-flf 20954  df-tsms 21140  df-esum 28858  df-omsOLD 29125
This theorem is referenced by:  omsmeasOLD  29165
  Copyright terms: Public domain W3C validator