Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem omsmon 29126
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsmon.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
omsmon.b  |-  ( ph  ->  B  C_  U. Q )
Assertion
Ref Expression
omsmon  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )

Proof of Theorem omsmon
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  ->  A  C_  B )
3 sstr2 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  U. z  ->  A  C_  U. z ) )
42, 3syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  -> 
( B  C_  U. z  ->  A  C_  U. z
) )
54anim1d 568 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  -> 
( ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  ->  ( A  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) ) )
65ss2rabdv 3510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
7 resmpt 5154 . . . . . . 7  |-  ( { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  ->  (
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
9 resss 5128 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  C_  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
108, 9syl6eqssr 3483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
11 rnss 5063 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
13 oms.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
1413ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
15 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P dom  R
16 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
1715, 16sseldi 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P dom  R )
18 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P dom  R  ->  x  C_  dom  R )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  dom  R )
20 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
2221ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  dom  R  =  Q )
2319, 22sseqtrd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  Q )
24 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
2523, 24sseldd 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Q )
2614, 25ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2726ralrimiva 2802 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
28 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
29 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
x
3029esumcl 28851 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3128, 30mpan 676 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3227, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3332ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
3534rnmptss 6052 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ*
y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3633, 35syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3712, 36xrge0infssd 28342 . . 3  |-  ( ph  -> inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  )  <_ inf ( ran  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  ) )
38 oms.o . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
39 omsmon.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. Q )
401, 39sstrd 3442 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U. Q )
41 omsfval 29118 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  C_  U. Q )  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  = inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  ) )
4238, 13, 40, 41syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  = inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  ) )
43 omsfval 29118 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  B  C_  U. Q )  ->  ( (toOMeas `  R
) `  B )  = inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  ) )
4438, 13, 39, 43syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  B )  = inf ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  <  ) )
4537, 42, 443brtr4d 4433 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  <_  ( (toOMeas `  R
) `  B )
)
46 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
4746fveq1i 5866 . 2  |-  ( M `
 A )  =  ( (toOMeas `  R
) `  A )
4846fveq1i 5866 . 2  |-  ( M `
 B )  =  ( (toOMeas `  R
) `  B )
4945, 47, 483brtr4g 4435 1  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   omcom 6692    ~<_ cdom 7567  infcinf 7955   0cc0 9539   +oocpnf 9672    < clt 9675    <_ cle 9676   [,]cicc 11638  Σ*cesum 28848  toOMeascoms 29113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-cn 20243  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-tsms 21141  df-esum 28849  df-oms 29115
This theorem is referenced by:  omsmeas  29155
  Copyright terms: Public domain W3C validator