Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsmon Structured version   Unicode version

Theorem omsmon 28442
Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsmon.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
omsmon.b  |-  ( ph  ->  B  C_  U. Q )
Assertion
Ref Expression
omsmon  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )

Proof of Theorem omsmon
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  ->  A  C_  B )
3 sstr2 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  U. z  ->  A  C_  U. z ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  -> 
( B  C_  U. z  ->  A  C_  U. z
) )
54anim1d 564 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P dom  R )  -> 
( ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  ->  ( A  C_ 
U. z  /\  z  ~<_  om ) ) )
65ss2rabdv 3577 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
7 resmpt 5333 . . . . . . 7  |-  ( { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  ->  (
( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
9 resss 5307 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  C_  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
108, 9syl6eqssr 3550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
11 rnss 5241 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
13 oms.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
15 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P dom  R
16 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
1715, 16sseldi 3497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P dom  R )
18 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P dom  R  ->  x  C_  dom  R )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  dom  R )
20 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R : Q --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  Q )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  R  =  Q )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  dom  R  =  Q )
2319, 22sseqtrd 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_  Q )
24 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
2523, 24sseldd 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Q )
2614, 25ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2726ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
28 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
29 nfcv 2619 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
x
3029esumcl 28204 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3128, 30mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3227, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3332ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  {
z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
34 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  =  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )
3534rnmptss 6061 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ~P dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ*
y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3633, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
3712, 36xrge0infssd 27738 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  <_  sup ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P dom  R  | 
( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
38 oms.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  V )
39 elex 3118 . . . . 5  |-  ( Q  e.  V  ->  Q  e.  _V )
4038, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  _V )
41 omsmon.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. Q )
421, 41sstrd 3509 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U. Q )
43 omsfval 28438 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  _V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  C_  U. Q )  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
4440, 13, 42, 43syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
45 omsfval 28438 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  _V  /\  R : Q --> ( 0 [,] +oo )  /\  B  C_  U. Q )  ->  ( (toOMeas `  R
) `  B )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
4640, 13, 41, 45syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  B )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
4737, 44, 463brtr4d 4486 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  <_  ( (toOMeas `  R
) `  B )
)
48 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
4948fveq1i 5873 . 2  |-  ( M `
 A )  =  ( (toOMeas `  R
) `  A )
5048fveq1i 5873 . 2  |-  ( M `
 B )  =  ( (toOMeas `  R
) `  B )
5147, 49, 503brtr4g 4488 1  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699    ~<_ cdom 7533   supcsup 7918   0cc0 9509   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646   [,]cicc 11557  Σ*cesum 28201  toOMeascoms 28435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-xrs 14919  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-ps 15957  df-tsr 15958  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-ntr 19648  df-nei 19726  df-cn 19855  df-haus 19943  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tsms 20751  df-esum 28202  df-oms 28436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator