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Theorem omsmon 26831
Description: A constructed outer measure is monotone. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m  |-  M  =  (toOMeas `  R )
oms.o  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
oms.r  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.0  |-  ( ph  ->  ( R `  (/) )  =  0 )
omsmon.a  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
omsmon.b  |-  ( ph  ->  B  C_  O )
Assertion
Ref Expression
omsmon  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )

Proof of Theorem omsmon
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omsmon.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P ~P U. dom  R
)  ->  A  C_  B
)
3 sstr2 3447 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  U. z  ->  A  C_  U. z ) )
42, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P ~P U. dom  R
)  ->  ( B  C_ 
U. z  ->  A  C_ 
U. z ) )
54anim1d 564 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P ~P U. dom  R
)  ->  ( ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om )  ->  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) ) )
65ss2rabdv 3517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
7 resmpt 5240 . . . . . . 7  |-  ( { z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  { z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  ->  ( ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  |`  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  |`  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  =  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) ) )
9 resss 5218 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  |`  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  C_  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
108, 9syl6eqssr 3491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  C_  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
11 rnss 5152 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  ->  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  C_  ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) )
13 oms.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
15 ssrab2 3521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  C_  ~P ~P U. dom  R
16 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )
1715, 16sseldi 3438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  e.  ~P ~P U. dom  R )
18 elpwi 3953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P ~P U. dom  R  ->  x  C_  ~P U.
dom  R )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_ 
~P U. dom  R )
20 fdm 5647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  ->  dom  R  =  ~P O
)
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  R  =  ~P O )
2221unieqd 4185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U. dom  R  = 
U. ~P O )
23 unipw 4626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ~P O  =  O
2422, 23syl6eq 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. dom  R  =  O )
2524pweqd 3949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ~P U. dom  R  =  ~P O )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  ~P U.
dom  R  =  ~P O )
2719, 26sseqtrd 3476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  x  C_ 
~P O )
28 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
2927, 28sseldd 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ~P O )
3014, 29ffvelrnd 5929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  /\  y  e.  x )  ->  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3130ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  ->  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
32 vex 3057 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
33 nfcv 2610 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
x
3433esumcl 26606 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  -> Σ* y  e.  x
( R `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3532, 34mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3631, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) } )  -> Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3736ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  {
z  e.  ~P ~P U.
dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
38 eqid 2450 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  =  ( x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )
3938rnmptss 5957 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }Σ* y  e.  x ( R `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) )  C_  (
0 [,] +oo )
)
4037, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e. 
{ z  e.  ~P ~P U. dom  R  | 
( A  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x ( R `  y ) )  C_  ( 0 [,] +oo ) )
4112, 40xrge0infssd 26174 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  )  <_  sup ( ran  ( x  e.  { z  e. 
~P ~P U. dom  R  |  ( B  C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
42 oms.o . . . . 5  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
43 elex 3063 . . . . 5  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  _V )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
45 omsmon.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  O )
461, 45sstrd 3450 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  O )
47 omsfval 26829 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  /\  A  C_  O )  -> 
( (toOMeas `  R
) `  A )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
4844, 13, 46, 47syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( A 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
49 omsfval 26829 . . . 4  |-  ( ( O  e.  _V  /\  R : ~P O --> ( 0 [,] +oo )  /\  B  C_  O )  -> 
( (toOMeas `  R
) `  B )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
5044, 13, 45, 49syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  B )  =  sup ( ran  (
x  e.  { z  e.  ~P ~P U. dom  R  |  ( B 
C_  U. z  /\  z  ~<_  om ) }  |-> Σ* y  e.  x
( R `  y
) ) ,  ( 0 [,] +oo ) ,  `'  <  ) )
5141, 48, 503brtr4d 4406 . 2  |-  ( ph  ->  ( (toOMeas `  R
) `  A )  <_  ( (toOMeas `  R
) `  B )
)
52 oms.m . . 3  |-  M  =  (toOMeas `  R )
5352fveq1i 5776 . 2  |-  ( M `
 A )  =  ( (toOMeas `  R
) `  A )
5452fveq1i 5776 . 2  |-  ( M `
 B )  =  ( (toOMeas `  R
) `  B )
5551, 53, 543brtr4g 4408 1  |-  ( ph  ->  ( M `  A
)  <_  ( M `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   {crab 2796   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   U.cuni 4175   class class class wbr 4376    |-> cmpt 4434   `'ccnv 4923   dom cdm 4924   ran crn 4925    |` cres 4926   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   omcom 6562    ~<_ cdom 7394   supcsup 7777   0cc0 9369   +oocpnf 9502    < clt 9505    <_ cle 9506   [,]cicc 11390  Σ*cesum 26603  toOMeascoms 26826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-fi 7748  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-xadd 11177  df-ioo 11391  df-ioc 11392  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-mulr 14340  df-tset 14345  df-ple 14346  df-ds 14348  df-rest 14449  df-topn 14450  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-topgen 14470  df-ordt 14527  df-xrs 14528  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-ps 15458  df-tsr 15459  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-fbas 17909  df-fg 17910  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-topsp 18609  df-ntr 18726  df-nei 18804  df-cn 18933  df-haus 19021  df-fil 19521  df-fm 19613  df-flim 19614  df-flf 19615  df-tsms 19799  df-esum 26604  df-oms 26827
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