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Theorem omsmolem 7302
Description: Lemma for omsmo 7303. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmolem  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    x, y, z, F
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem omsmolem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2540 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  (/) ) )
2 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
32eleq2d 2537 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) ) )
41, 3imbi12d 320 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( z  e.  y  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) )  <-> 
( z  e.  (/)  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 (/) ) ) ) )
5 eleq2 2540 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  w ) )
6 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
76eleq2d 2537 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) )
85, 7imbi12d 320 . 2  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  <->  ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) ) )
9 eleq2 2540 . . 3  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( z  e.  y  <-> 
z  e.  suc  w
) )
10 fveq2 5866 . . . 4  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  w )
)
1110eleq2d 2537 . . 3  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( F `  z )  e.  ( F `  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) )
129, 11imbi12d 320 . 2  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  <->  ( z  e. 
suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) )
13 noel 3789 . . . 4  |-  -.  z  e.  (/)
1413pm2.21i 131 . . 3  |-  ( z  e.  (/)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) )
1514a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  (
z  e.  (/)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) ) )
16 vex 3116 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1716elsuc 4947 . . . . 5  |-  ( z  e.  suc  w  <->  ( z  e.  w  \/  z  =  w ) )
18 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
19 suceq 4943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  suc  x  =  suc  w )
2019fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  w ) )
2118, 20eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  e.  ( F `
 suc  x )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
2221rspccva 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) )
2322adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  w
)  e.  ( F `
 suc  w )
)
24 peano2b 6700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  om  <->  suc  w  e. 
om )
25 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : om --> A  /\  suc  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  A
)
2624, 25sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : om --> A  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  A
)
27 ssel 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  suc  w
)  e.  A  -> 
( F `  suc  w )  e.  On ) )
28 ontr1 4924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  On  ->  ( ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  /\  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
2928expcomd 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  On  ->  ( ( F `  w
)  e.  ( F `
 suc  w )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) )
3026, 27, 29syl56 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w
)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) ) )
3130impl 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `
 w )  e.  ( F `  suc  w )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) ) )
3231adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w
)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) )
3323, 32mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
3433imim2d 52 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) )  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) )
3534imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
36 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
3736eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
3822, 37syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x )  /\  w  e.  om )  ->  (
z  =  w  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) )
3938adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
4135, 40jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( (
z  e.  w  \/  z  =  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
4217, 41syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  e.  suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
4342exp31 604 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  (
w  e.  om  ->  ( ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) )  ->  ( z  e. 
suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) ) )
4443com12 31 . 2  |-  ( w  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) )  ->  ( z  e.  suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) ) )
454, 8, 12, 15, 44finds2 6712 1  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   Oncon0 4878   suc csuc 4880   -->wf 5584   ` cfv 5588   omcom 6684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-om 6685
This theorem is referenced by:  omsmo  7303
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