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Theorem omsmolem 7320
Description: Lemma for omsmo 7321. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmolem  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    x, y, z, F
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem omsmolem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2530 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  (/) ) )
2 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
32eleq2d 2527 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) ) )
41, 3imbi12d 320 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( z  e.  y  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) )  <-> 
( z  e.  (/)  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 (/) ) ) ) )
5 eleq2 2530 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  w ) )
6 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
76eleq2d 2527 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) )
85, 7imbi12d 320 . 2  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  <->  ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) ) )
9 eleq2 2530 . . 3  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( z  e.  y  <-> 
z  e.  suc  w
) )
10 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  w )
)
1110eleq2d 2527 . . 3  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( F `  z )  e.  ( F `  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) )
129, 11imbi12d 320 . 2  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  <->  ( z  e. 
suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) )
13 noel 3797 . . . 4  |-  -.  z  e.  (/)
1413pm2.21i 131 . . 3  |-  ( z  e.  (/)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) )
1514a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  (
z  e.  (/)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) ) )
16 vex 3112 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1716elsuc 4956 . . . . 5  |-  ( z  e.  suc  w  <->  ( z  e.  w  \/  z  =  w ) )
18 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
19 suceq 4952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  suc  x  =  suc  w )
2019fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  w ) )
2118, 20eleq12d 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  e.  ( F `
 suc  x )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
2221rspccva 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) )
2322adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  w
)  e.  ( F `
 suc  w )
)
24 peano2b 6715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  om  <->  suc  w  e. 
om )
25 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : om --> A  /\  suc  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  A
)
2624, 25sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : om --> A  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  A
)
27 ssel 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  suc  w
)  e.  A  -> 
( F `  suc  w )  e.  On ) )
28 ontr1 4933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  On  ->  ( ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  /\  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
2928expcomd 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  On  ->  ( ( F `  w
)  e.  ( F `
 suc  w )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) )
3026, 27, 29syl56 34 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w
)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) ) )
3130impl 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `
 w )  e.  ( F `  suc  w )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) ) )
3231adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w
)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) )
3323, 32mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
3433imim2d 52 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) )  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) )
3534imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
36 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
3736eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
3822, 37syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x )  /\  w  e.  om )  ->  (
z  =  w  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) )
3938adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
4135, 40jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( (
z  e.  w  \/  z  =  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
4217, 41syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  e.  suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
4342exp31 604 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  (
w  e.  om  ->  ( ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) )  ->  ( z  e. 
suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) ) )
4443com12 31 . 2  |-  ( w  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) )  ->  ( z  e.  suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) ) )
454, 8, 12, 15, 44finds2 6727 1  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   (/)c0 3793   Oncon0 4887   suc csuc 4889   -->wf 5590   ` cfv 5594   omcom 6699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-om 6700
This theorem is referenced by:  omsmo  7321
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