Theorem omsmolem 5313

Description: Lemma for omsmo 5314.

Assertion

Ref	Expression
omsmolem	|- (y e. om -> (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,F,y,z

Proof of Theorem omsmolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . 3 |- (y = (/) -> (z e. y <-> z e. (/)))
2		fveq2 4681	. . . 4 |- (y = (/) -> (F` y) = (F` (/)))
3	2	eleq2d 1964	. . 3 |- (y = (/) -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` (/))))
4	1, 3	imbi12d 688	. 2 |- (y = (/) -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/)))))
5		eleq2 1958	. . 3 |- (y = w -> (z e. y <-> z e. w))
6		fveq2 4681	. . . 4 |- (y = w -> (F` y) = (F` w))
7	6	eleq2d 1964	. . 3 |- (y = w -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` w)))
8	5, 7	imbi12d 688	. 2 |- (y = w -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. w -> (F` z) e. (F` w))))
9		eleq2 1958	. . 3 |- (y = suc w -> (z e. y <-> z e. suc w))
10		fveq2 4681	. . . 4 |- (y = suc w -> (F` y) = (F` suc w))
11	10	eleq2d 1964	. . 3 |- (y = suc w -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` suc w)))
12	9, 11	imbi12d 688	. 2 |- (y = suc w -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w))))
13		noel 2879	. . . 4 |- -. z e. (/)
14	13	pm2.21i 93	. . 3 |- (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/)))
15	14	a1i 8	. 2 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/))))
16		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = w -> (F` x) = (F` w))
17		suceq 3729	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = w -> suc x = suc w)
18	17	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = w -> (F` suc x) = (F` suc w))
19	16, 18	eleq12d 1965	. . . . . . . . . . 11 |- (x = w -> ((F` x) e. (F` suc x) <-> (F` w) e. (F` suc w)))
20	19	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . 10 |- ((A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) /\ w e. om) -> (F` w) e. (F` suc w))
21	20	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> (F` w) e. (F` suc w))
22		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A C_ On -> ((F` suc w) e. A -> (F` suc w) e. On))
23		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:om-->A /\ suc w e. om) -> (F` suc w) e. A)
24		peano2b 3968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. om <-> suc w e. om)
25	23, 24	sylan2b 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:om-->A /\ w e. om) -> (F` suc w) e. A)
26	22, 25	syl5 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ On -> ((F:om-->A /\ w e. om) -> (F` suc w) e. On))
27		ontr1 3710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` suc w) e. On -> (((F` z) e. (F` w) /\ (F` w) e. (F` suc w)) -> (F` z) e. (F` suc w)))
28	27	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` suc w) e. On -> ((F` z) e. (F` w) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
29	28	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` suc w) e. On -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
30	26, 29	syl6 25	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ On -> ((F:om-->A /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w)))))
31	30	exp3a 405	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ On -> (F:om-->A -> (w e. om -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))))
32	31	imp31 389	. . . . . . . . . 10 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
33	32	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
34	21, 33	mpd 29	. . . . . . . 8 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w)))
35	34	imim2d 28	. . . . . . 7 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. w -> (F` z) e. (F` suc w))))
36	35	imp 377	. . . . . 6 |- (((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z e. w -> (F` z) e. (F` suc w)))
37		fveq2 4681	. . . . . . . . . 10 |- (z = w -> (F` z) = (F` w))
38	37	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (z = w -> ((F` z) e. (F` suc w) <-> (F` w) e. (F` suc w)))
39	38, 20	syl5cbir 228	. . . . . . . 8 |- ((A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) /\ w e. om) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
40	39	adantll 428	. . . . . . 7 |- ((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
41	40	adantr 425	. . . . . 6 |- (((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
42	36, 41	jaod 469	. . . . 5 |- (((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> ((z e. w \/ z = w) -> (F` z) e. (F` suc w)))
43		visset 2295	. . . . . 6 |- z e. _V
44	43	elsuc 3734	. . . . 5 |- (z e. suc w <-> (z e. w \/ z = w))
45	42, 44	syl5ib 223	. . . 4 |- (((((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))
46	45	exp31 407	. . 3 |- (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (w e. om -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))))
47	46	com12 14	. 2 |- (w e. om -> (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))))
48	4, 8, 12, 15, 47	finds2 3981	1 |- (y e. om -> (((A C_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  (/)c0 2875  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  -->wf 3994  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  omsmo 5314

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain